韦燕红，徐俊峰

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言与定理

本文使用Nevanlinna理论的符号，假设读者熟悉值分布的相关理论（详见参考文献[1-2]）.

设f(z)是复平面C上的亚纯函数，如果非恒为零的亚纯函数a(z)满足T(r,a)=S(r,f)（这里S(r,f)=o(T(r,f))(r→∞)，除了关于r的一个可能存在的有限例外集），则称a(z)是f(z)的小函数.

定义1设f是非常数亚纯函数，aj(j=0,1,2,…,n)是f的小函数且都不恒为零，Mj(j=0,1,2,…,n)皆为f的系数为1的微分单项式，称P(f)=a0M0(f)+a1M1(f)+…+anMn(f)为f的微分多项式.

定义2设f是非常数亚纯函数，aj(j=0,1,2,…,n)是关于z的多项式且都不恒为零，称为f的代数微分多项式.其中，I是多指标有限集，|γ|:=i0+…+in称为P(z,f,f',…,f(t))对应每一项的次数.

在研究复微分方程理论的众多问题中，证明给定微分方程的整函数或者亚纯函数解的存在性和给出解的形式，一直是一个有趣且相当困难的问题，特别是非线性微分方程.大量学者运用Nevanlinna值分布理论，研究了一系列非线性微分方程[3-6].其中，文献[5]得到了如下结果：

定理1设n≥3是一个整数，P(f)表示f(z)的次数不超过n-3的代数微分多项式，b(z)是亚纯函数，λ,c1,c2是 3个不 为零 的常 数，那么 微分 方程fn(z)+P(f)=b(z)(c1eλz+c2e-λz)没有 满足T(r,b)=S(r,f)的超越整函数解.

文献[6]进一步研究非线性微分方程：

其中，p1(z) ,p2(z)是2个不为零的多项式，α1,α2是2个非零常数且α1/α2不是有理数. 如果n≥4，P(f)是f(z)的次数不超过n-3的代数微分多项式，则方程（1）没有超越整函数解.

文献[6]推断P(f)的次数不超过n-2或n-1时，上述结论也成立.

2016年，Zhang等[7]考虑用fnf'取代方程（1）的主要部分fn，研究非线性微分方程：fnf'+其中，Qd(z,f)是以有理函数为系数的微分多项式，p1,p2是f的小函数，α1(z),α2(z)是非零整函数. 2017年，陆小……