徐俊峰，罗立宝

（五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020）

1 引言及主要结果

本文假设读者熟悉亚纯函数 Nevanlinna值分布理论的基本结果和标准符号的表示法[1-3].近年来，包含q差分的Nevanlinna理论被发展成为研究q差分方程和q差分多项式的理论.在亚纯函数的值分布理论中，许多文献都关注复域差分，给出了许多不同的亚纯函数的值分布理论模拟[4-10].

Hayman提出了以下著名的猜想.

定理A[11]40如果f(z)是一个超越亚纯函数，n≥1，则n ff'取每个有限的非零值b∈C无穷多次.

Hayman[1]，Mues[12]，Bergweiler[13]等人分别在n≥3，n=2，n=1条件下证明了此猜想.

定理B[11]34如果f(z)是一个超越亚纯函数，n≥5是一个整数，a(≠0)是一个常数，那么f'(z)-afn(z)可取所有有限值b无穷多次.

定理C[6]219设f(z)是零级超越亚纯函数，q是非零复常数.则对于n≥6，fn(z)f(qz+c)取每一个有限的非零值b∈C无穷多次.

定理D[6]219设f(z)是零级超越亚纯函数，a，q是非零复常数.则当n≥8，fn(z)+a[f(qz+c)-f(z)]取每一个有限的非零值b∈C无穷多次.

定理E[8]设f(z)是零级超越亚纯函数，a(z)(≡/0,∞)，b(z)(≡/∞)为f(z)的小函数.那么fn(z)+a(z)f(qz)-b(z)对n≥6有无穷多个零点.如果f(z)是超越整数，对于n≥2成立.

定理1设f(z)是零级超越亚纯函数，a(z)(≡/0,∞)，b(z)(≡/∞)为f(z)的小函数，m是一个正整数.则对于有无穷多个零点.如果f(z)是超越整函数，对于成立的.

注记1当k=1时，定理E是定理1的特殊形式.

定理F[9]设f(z)是一个零级超越亚纯函数，设n,k为正整数.如果n≥k+6，则(f(z)nf(qz+c))(k)-1有无穷多个零点.

定理G[10]设f(z)是一个零级超越亚纯函数，α(z)是关于f(z)的非零小函数.如果n≥k+6，则[fn(z)f(qz+c)](k)-α(z)有无穷多个零点.

根据上述定理，我们证明了以下结果

定理2设f(z)是一个零级超越亚纯函数，设qj∈C {0}，j=1,2,…,l，aj∈C为非零常数，k∈N，P2(f)=a1f(q1z+c)+a2f(q2z+c)+···+alf(qlz+c)，α(z)是f(z)的一个小函数.设F2(z)=fnP2(f)，n≥l+k+5 为整数，则差分多……