郭 杰，曲天良，张晶泊

(大连海事大学 信息科学技术学院·大连·116026)

0 引 言

随着导航技术的发展，惯性导航在国防和国民经济中的作用愈发明显，属于基础性、战略性和前沿性的军民两用高新技术。陀螺是其核心传感器，而“高精度、微型化”是陀螺发展的重要方向。哥氏振动陀螺的灵感源于傅科摆，它以单摆的简谐振动作为惯性参考系测量地球转动，仿生学领域中的双翅目昆虫的平衡棒便是基于哥氏振动陀螺的原理进行辅助导航或姿态控制。半球谐振陀螺(Hemispherical Resonator Gyroscope, HRG)是基于哥氏效应测量角速度的新型振动陀螺，其具有结构简单、精度高、功耗低、寿命长、可靠性好、抗空间辐射等优点，一度被惯性技术界誉为21世纪先进捷联惯导系统最为理想的陀螺。

半球谐振陀螺的控制方式主要有两种：力平衡模式(速率型)和全角模式(速率积分型)。力平衡模式更容易实现，灵敏度高，但其动态范围过小，应用领域十分有限；相对于力平衡模式，全角模式(Whole-Angle,WA)下的半球谐振陀螺具有满刻度量程，但全角模式的控制更为复杂。

在全角模式下，半球谐振陀螺需精确测量谐振子驻波位置，并使用两组驱动电极施加矢量驱动力，以维持驻波振动能量，实现幅度控制。同时，正交控制可以有效消除由频率裂解带来的误差项。因此，阻尼不均匀已成为半球谐振陀螺漂移的主要误差源。由于在全角模式下，驻波在圆周上自由进动，阻尼不均匀误差具有强烈的角度依赖性，不均匀误差随驻波方位角呈周期性变化，这是全角模式下半球谐振陀螺必须解决的问题。另外，当输入转速小于由阻尼不均匀所引发的漂移时，测量的角度将无法跟踪陀螺的转速，这也是半球谐振陀螺在全角模式下需要解决的闭锁问题。

1 Lynch平均法

20世纪90年代中后期，美国的Lynch博士发表了针对振动陀螺的平均分析方法，促进了半球谐振陀螺全角模式的进一步发展，其逻辑概括如图1所示。图1(a)是基于二维谐振子模型的常规变量椭圆轨迹图，其基本运动方程以位移x、y为变量，具体如式(1)所示。

(a) 常规变量椭圆轨迹图

(b) HRG工作原理图

(1)

其中，

x

与

y

为谐振子相隔45°的两组检测电极的读出信号。(

x

,

y

)为谐振子的广义坐标，表示二维质点振动模型中质量块的广义位移，

k

为进动角增益，

k

′为向心力增益，

Ω

为转台输入旋转速度，

ω

为谐振频率，

f

、

f

分别为

x

、

y

轴向上的控制力。椭圆轨迹图上的

a

(长轴)、

q

(短轴)、

θ

(初始方位角)和

φ

′(相位角)是四个慢变量，与壳体振动驻波的振幅、正交量(与频率裂解相关)、初始方位角和相位角直接对应，具有直观而明确的物理意义。因此，可尝试通过

x

、

y

的运动方程得到

a

、

q

、

θ

、

φ

′的微分方程。考虑频率裂解(Δ

ω

)、频率轴(

θ

)、阻尼不均匀(Δ(1

/τ

))和阻尼轴(

θ

)等误差，Lynch首先通过坐标变换(如图1所示)将频率和阻尼不均匀性误差引入到了

x

、

y

的运动方程中，并得到了包含Δ

ω

、

θ

、Δ(1

/τ

)、

θ

在内的普适性运动方程，如式(2)所示。

(2)

式中，Δ(1

/τ

)、Δ

ω

为阻尼不均匀和频率裂解缺陷。

θ

、

θ

分别表示谐振子阻尼轴和频率轴的角度，

γ

、

g

为

x

轴向上的加速度，

γ

、

g

为

y

轴向上的加速度。利用泡利矩阵(3)可以将普适性运动方程表达为矩阵形式，如式(4)所示。此处，可忽略加速度

γ

、

g

、

γ

、

g

的影响。

(3)

(4)

然后，进行平均法处理。谐振子两个模态的频率与参考信号的频率

ω

都十分接近，可引入变量(

t

)、(

t

)，具体如式(5)、式(6)所示。

(5)

式中，

R

(·)表示实部，(

ωt

+

φ

)为锁相环解调参考信号的相位，

c

(

t

)、

c

(

t

)、

s

(

t

)、

s

(

t

)为由乘法解调得到的四个低频慢变信号。

(6)

式中，

f

c(

t

)、

f

c(

t

)分别为

F

(

t

)、

F

(

t

)的实部，

f

s(

t

)、

f

s(

t

)分别为

F

(

t

)、

F

(

t

)的虚部。结合式(4)、式(5)、式(6)，可以得到基于(

t

)的运动方程

(7)

结合基本运动方程(1)(

Ω

=0)的矩阵形式，可进一步将(

t

)表达为的形式，如式(8)所示

(8)

其中，

φ

为实时谐振信号的初相，

φ

′为锁相环解调参考信号的初相，δ

φ

为实时谐振振动信号与出锁信号的相位差值。然后，将代入(

t

)的运动方程，从而得到

a

(或

E

)、

q

(或

Q

)、

θ

、

φ

′的一阶微分方程。总之，基于慢变量的特性和巧妙的数学处理，得到了四个重要变量的微分方程。微分方程是陀螺四个回路控制(稳幅回路、正交控制回路、角度解算支路和频率跟踪锁定回路)的基础，可使包含误差在内的半球谐振陀螺的数学模型趋于理想状态。此外，文献[3]所提及的经(

t

)组合运算得到的驻波进动方程(如式(9)所示)，被国内外众多学者广泛引用。以此来分析阻尼不均匀对零偏漂移的影响，可提高陀螺的控制精度。

(9)

式中，

θ

为方位角，

E

为振动能量，

Q

为波节点振幅，

f

=-

f

s(

t

)sin

θ

+

f

s(

t

)cos

θ

。

21世纪初期，“四力控制”法、自适应补偿法和施加虚拟旋转方法陆续出现，极大地丰富了半球谐振陀螺在全角模式下阻尼不均匀误差的补偿方法(如图2所示)。另外，如利用差动模式消除两轴阻尼耦合、利用静电激励和电容检测进行非线性分析与校正、进行全角模式误差建模分析与信号处理等工作，也对半球谐振陀螺误差补偿技术的发展施加了强劲推力。

图2 阻尼不均匀误差补偿方法发展的时间流图Fig.2 Time flow diagram of compensation method for damping mismatch

2 “四力控制”法

结合二维谐振子振动方程，若只考虑阻尼及阻尼不均匀性，可得到如下方程

(10)

式中，

F

e、

F

s、

F

e、

F

s为与误差补偿相关的四个控制力，其表达式如下

(11)

假设可维持长轴远大于短轴(

a

≫

q

)，可得到四个控制力的简化方程(12)，以及三个参数(

η

、

η

和

η

)的PID控制方程式，如式(13)所示。

(12)

(13)

其中，

A

、

A

、

A

分别为比例增益、积分增益、微分增益，可以选择这些增益来优化陀螺仪的响应。Δ

E

为

E

信号测量值与目标值之差，下标-1表示前一时刻的数值。在仿真模拟中，以Lynch算法为基础，经组合运算得到的

E

信号经PID控制参与控制力的合成，可实现对谐振子的闭环控制，如图3所示。

图3 “四力控制”原理图Fig.3 Schematic diagram of "four-force control" method

基于基本正交补偿的施加，仿真结果表明，“四力控制”结合频率裂解控制可使陀螺仪的角度依赖漂移误差降低两个数量级以上，施加控制前后的漂移仿真对比如图4所示。将上述控制方式应用于单晶硅圆柱速率积分陀螺(The Single Crystal-Si Cylindrical Rate-Integrating Gyro,CING, MEMS陀螺的一种)，可使漂移减少约25%，如图5所示。

(a)漂移-驻波方位角关系图(控制前)

(b)漂移-驻波方位角关系图(控制后)

图5 CING漂移变化的实验结果图Fig.5 CING experimental drift diagram

3 自适应补偿法

在驻波进动方程式(9)的基础上，施加正交控制后，

Q

≈0。在全角模式下，通常将

f

设为0。但在此方法中，前馈补偿项

u

用于补偿阻尼不均匀扰动，具体方程如下

(14)

进动方程离散化近似如下

θ

(

κ

)=

θ

(

κ

-1)-

kΩt

+

d

(

κ

-1)

t

-

u

(

κ

-1)

t

(15)

式中，

t

为采样间隔，

κ

为离散采样时刻，

d

(

κ

)为由阻尼不均匀而产生的扰动，具体如下

(16)

定义前馈补偿项为

(17)

以未知参数

Ω

、

a

和

b

构成权值向量

(18)

相应的回归向量(

κ

)为

(19)

为了测量时变输入角速度，利用归一化最小均方算法来更新权值向量(

κ

)，使得先验误差

e

(

κ

)平方的期望值趋近于0，以此来降低干扰项

d

对角度解算的影响。

(20)

图6 方位角自适应失配补偿回路Fig.6 Adaptive mismatch compensation of azimuth angle

(a)输入速率估计响应

(b)启用补偿前后角度测量误差仿真对比

4 虚拟旋转

在全角模式下，由阻尼不均匀引起的误差随驻波方位角呈正弦规律分布，可通过驻波方位角的旋转调制和周期性积分等方法进行误差补偿。旋转调制可以通过转台主动旋转，也可以利用陀螺仪的控制电极施加较大的“虚拟旋转”力以作用于驻波进动方程的

f

，使由阻尼不均匀引发的漂移获得平均，进而减少由阻尼不均匀引发的误差，而且可以使陀螺走出“锁区”测量低转速。结合驻波进动方程，引入新变量

y

=tan(

θ

-

θ

)，主要以两种情况导出角度

θ

的解，从方程的角度解释了HRG的测速特性。

(21)

其中，

Ω

为虚拟旋转速率。当输入角速率低于Δ(1

/τ

)

/

2

k

时，测量角不会跟踪旋转角，如方程(22)所示，角度会收敛到一个恒定的角度。其中，

n

为整数。

(22)

当输入角速率高于Δ(1/

τ

)

/

2

k

时，如方程(23)所示，角度漂移随输入角度呈线性减小趋势。

(23)

通过数学计算，可得到方位角的近似表达式

(24)

式中，

ξ

为一常数。由方程可知，随着输入旋转角

Ω

的增加，进动角增益收敛于

k

，降低了角度漂移。图8是施加虚拟旋转的原理图。经PID控制的

E

、

Q

信号及施加的虚拟旋转共同参与控制力的合成。图8中，

E

、

Q

分别为

E

、

Q

经PID产生的信号，

I

、

Q

为锁相环产生的相互正交的解调参考信号，

Ω

为虚拟角速率。

图8 施加虚拟旋转原理图Fig.8 Schematic diagram of applying virtual rotation method

图9是仿真结果图。尽管存在阻尼不均匀缺陷Δ(1/

τ

)=2 (rad/s)≈115(°)/s，当施加虚拟旋转

Ω

=100 (rad/s)≈5730(°)/s时，陀螺仪角速率的精度可达Δ(1/

τ

)/(8

Ω

)≈0.3(°)/s，将由阻尼不均匀误差带来的陀螺漂移降低了两个数量级以上。从公式Δ(1/

τ

)/(8

Ω

)可见，虚拟旋转的速度越快，其对角速率测量精度的提高效果越明显。

(a)测量速率-施加速率关系图

(b)虚拟角速率-阻尼不均匀关系图图9 施加虚拟旋转仿真结果图Fig.9 Simulation results of applying virtual rotation method

5 结 论

综上所述，“四力控制”法与方位角自适应补偿均可有效降低陀螺仪的漂移。在控制精度方面，自适应算法效果更优。施加虚拟旋转解决了测量角度受限的锁区问题，实现了半球谐振陀螺全角模式下的全角度测量。

国内外研究与实践表明，在航天飞行任务日益长期化、复杂化的今天，半球谐振陀螺因其高性能和小型化等特点必将得到广泛应用。如何运用合理有效的补偿控制算法，减少半球谐振陀螺对高精密加工工艺的依赖，降低阻尼不均匀漂移误差，有效提高其性能，还需要完成大量细致深入的研究工作。为尽快推广全角模式下半球谐振陀螺在多领域中的应用，相关技术人员仍需刻苦攻关。