朱南海，李杰明

(1.江西理工大学土木与测绘工程学院，赣州 341000；2.江西省环境岩土与工程灾害控制重点实验室，赣州 341000)

大跨度空间网壳结构近年来被广泛应用，其失效后往往造成严重的后果。稳定性是单层网壳结构设计中需要考虑的一个重要内容[1]，而节点构形度与单层网壳结构的稳定性有着密切联系。节点构形度是反映结构构件间连接能力的重要参数，节点连接能力差异越明显表明结构存在薄弱区域，其整体性能也越差[2]。因此，研究节点构形度对提升结构的力学性能具有重要意义。

目前许多学者从多角度对结构的节点构形度进行了相应研究。Blockley等[3−4]基于构形度概念提出了结构拓扑构形易损性理论，通过研究结构几何拓扑关系，将整体结构划分成不同层次的结构簇，形成构件层级拓扑模型，通过解簇过程，分析结构可能出现的失效路径，并识别各种失效路径下结构构件连接中的薄弱部位。在此基础上Agarwal等[5−6]提出了结构圆的概念，将结构拓扑构形易损性理论扩展到三维空间桁架体系和三维空间刚架体系，并考虑了结构在动力作用下的失效模式。England等[7]基于结构拓扑构形易损性理论，考虑外部荷载作用下结构可能出现的失效模式，并验证了结构拓扑构形易损性理论识别结构薄弱易损部位的准确性。近几年结构易损性理论也吸引了国内许多学者的注意。叶继红等[8−12]以构形易损性理论分析单层球面网壳结构在地震作用下的失效机理，并通过实验验证其准确性。文献[13− 14]基于结构簇、节点构形度与网壳倒塌破坏模式的联系提出了地震作用下的结构倒塌模式优化策略。文献[2]基于节点构形度提出了以节点构形度的对数标准差作为评价单层球面网壳结构整体刚度均匀性指标。文献[15− 16]提出了考虑了荷载条件，几何非线性及约束的节点构形度计算方法。文献[17]提出了结构节点构形度差异系数的概念，研究了网壳结构的极限承载力与节点构形度差异系数之间的关系。

本文基于结构拓扑构形易损性理论中的节点构形度概念建立了结构节点构形度差异性评价系数，以其作为反映网壳结构节点连接能力差异性的指标，在此基础上将降低节点构形度差异系数作为优化目标，考虑结构位移、构件长细比、强度及稳定性等约束条件，通过粒子群算法优化结构构件的截面尺寸，实现结构节点连接性能均衡分布，改善结构延性，提高结构极限承载力和整体性能。

1 节点构形度

结构节点构形度是构形易损性理论中的重要内容之一，其可以反映结构构件间的连接能力，而结构构件连接能力的大小与节点构形度值有关[17]。节点k的连接性能可用K kk矩阵形式来表示。结构集成所有单元刚度矩阵可得到整体刚度矩阵K nn，其可写成n×n阶分块矩阵，即：

式中：K kk为整体刚度矩阵中跟节点k有关的刚度子矩阵；n为结构节点个数。

节点的构形度可用下式表示为：

式中：Qj为节点j的构形度；nd为结构节点的自由度数。节点构形度反映了此节点的连接性能，节点构形度越大，表明此节点连接能力越强，抵抗荷载的能力越高，节点性能越好，构件间的连接性能越紧密；反之，节点构形度越小，表明其性能越差，结构在此节点抵抗荷载的能力越弱。

2 节点构形度差异系数

节点构形度是结构构件间连接性能的重要参数指标[2]。本文将结构节点构形度差异系数定义为节点构形度方差与其平均值的比值，即：

式中：nc为结构非约束节点的个数；Q为结构节点构形度的平均值。式(3)中分子表示整个结构节点构形度的离散程度，分母衡量结构内部构件之间的平均连接性能。Sq越小表明结构节点连接性能分布越均衡，结构稳定性越好。

3 网壳结构节点构形度的均衡优化与实现

3.1 节点构形度差异系数的最小化

3.1.1优化目标的确定

为实现结构刚度的均衡分布，减小结构节点连接性能的差异性，以圆钢管截面的尺寸(外径D和壁厚t)为优化变量，将目标函数定义为：

式中，节点构形度差异系数Sq为构件i的外径Di和壁厚ti的函数。

3.1.2约束条件

1)构件的长细比约束

根据《空间网格结构技术规程规定》(JGJ 7−2010)[18]规定，网壳结构构件的长细比约束可表示为：

式中：l0i为构件i的计算长度；αi为构件i的截面回转半径，λi为构件i的长细比；[λ]为构件的容许长细比，对受压构件(轴压构件、压弯构件)[λ]取150，对受拉构件(轴拉构件、拉弯构件)[λ]取250。

2)结构最大位移约束

根据《空间网格结构技术规程规定》(JGJ 7−2010)[18]规定，网壳结构最大位移约束可表示为：

式中：δmax/(m)为结构最大竖向位移限值；L为结构短向跨度。

3)结构材料用量约束

为使结构经济合理，需控制其材料用量，结构材料用量约束可表示为：

式中：Veit为第it优化步结构的总用钢量；Ve0为结构允许最大用钢量。

4)构件强度约束

根据《钢结构设计标准》(GB 50017−2017)[19]结构构件强度约束可表示为：式中：Ni/(N)为构件i截面处的轴心压力设计值；Mxi/(N·mm)、Myi/(N·mm)分别为同一截面处绕x轴和y轴的弯矩设计值；Ai/(mm2)为构件i的净截面面积；γm为圆形构件的截面塑性发展系数，因所有截面库中圆管截面板件宽厚比均符合S3级要求，γm=1.15；Wi/(mm3)为构件i的净截面模量；f为钢材的强度设计值。

5)构件稳定性约束

根据《钢结构设计标准》(GB 50017−2017)[19]压弯构件稳定性约束可表示为：

3.2 基于粒子群算法的节点构形度差异系数最小化的实现

粒子群优化算法(PSO)是通过模拟鸟群觅食行为的一种进化计算技术，由Kennedy和Eberhart首次提出[20]，其基本思想是通过群体中个体之间的协作和信息共享来寻找最优解。近来，PSO在各种工程优化设计中广泛应用，如结构形状优化[21]，结构拓扑优化[22]和结构设计优化[23−24]等。本文以构件截面尺寸为优化参数，采用粒子群优化算法对节点构形度差异系数进行优化，实现结构节点连接性能均衡分布，其步骤如下：

步骤1.算法初始参数设置和优化问题初始化。

设置粒子空间搜索维数为P，粒子种群规模为m，搜索速度界限为Vmax、Vmin，学习因子为c1、c2，惯性系数为w。根据文献[25]，选取ns种常用的钢管，将选取的构件从1～ns编号(本文选取了196种常用钢管，其外径的取值范围为89.0mm～406.0 mm，壁厚的取值范围为2.5 mm～20.0 mm)。步骤2.粒子初始选取的构件编号及搜索速度初始化。

式中：w为惯性权重；c1、c2为学习因子；r1、r2为在(0,1)范围内产生的随机数[26]。

基于粒子s在第it步选取的构件编号及it+1步的搜索速度，更新粒子在it+1步选取的构件编号。

步骤5.终止条件。

当粒子搜寻到最大迭代数目时，PSO算法终止，否则，重复步骤3和步骤4。

采用粒子群优化算法，将结构构件截面尺寸作为优化变量，以式(3)所示的节点构形度差异系数Sq最小化为目标函数，实现结构节点连接性能均衡分布，其优化流程如图1所示。

图1 结构节点构形度优化流程图Fig.1 The flow chart of the optimization of nodal well-formedness

4 算例分析

4.1 40 m跨度K6N6单层球面网壳

如图2所示的K6型单层球面网壳结构，跨度为40.0 m，矢高为8.0 m，周边设置固定支座，节点为刚性连接，主肋及环向杆件截面尺寸为114.0 mm×4.0 mm，斜杆截面尺寸为 108.0 mm×3.5 mm，结构杆件均采用Q235钢管，弹性模量为210.0 GPa，密度为7.85×103kg/m3，泊松比为0.3，杆件屈服强度为235.0MPa，各杆件的应力和结构位移均满足设计要求。

图2 一K6N6型单层球面网壳结构Fig.2 A K6N6 single-layer reticulated shell

作用于该网壳的荷载包括：球壳自重为0.4 kN/m2，球节点自重为 0.2 kN/m2，屋面板自重为0.6 kN/m2，设备管道自重为 0.4 kN/m2；活荷载为0.5 kN/m2。在计算结构内力时，将网壳结构上的均布荷载设计值以等效集中荷载的形式作用于节点上，等效节点力为20.0 kN。

根据结构杆件的空间位置，从内到外以及从径向杆件到斜向杆件再到环向杆件的顺序将结构杆件划分为11组，每组杆件采取相同的截面尺寸，杆件分组如表1和图3所示。

图3 K6N6型单层球面网壳的杆件分组(1/6模型)Fig.3 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell (1/6 model)

表1 K6N6型单层球面网壳的杆件分组Table 1 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell

将各组杆件截面尺寸作为优化参数，以结构节点构形度差异系数最小化为目标函数，采用粒子群优化算法对结构杆件的截面尺寸进行优化，图4为目标函数值的变化过程曲线。由此可知，优化过程中结构节点构形度差异系数不断减小，最后趋于平稳，原结构节点构形度差异系数数值较大，节点连接能力差异较大，优化后结构节点构形度差异系数数值明显减小，其数值从0.358降到0.273。在控制结构材料用量不高于原结构的条件下，优化后各组杆件的截面尺寸如表2所示。此时结构杆件的最大长细比为106.0，按杆件强度验算其最大应力为170.58N/mm2，按结构稳定性验算其最大应力为208.69N/mm2，均满足设计约束条件。

图4 优化中K6N6型单层网壳的节点构形度差异系数曲线Fig.4 The differencecurve of nodal well-formednessin the optimization of the K6N6 single-layer reticulated shell

表2 K6N6型单层网壳结构优化后的杆件尺寸Table 2 The member cross-sectional dimensions in each group of the K6N6 single-layer reticulated shell after optimization

对该网壳结构进行静力极限承载力分析，其初始几何缺陷最大计算值按《空间网格结构技术规程规定》(JGJ 7−2010)[18]要求的L/300进行施加，由此可得结构荷载-位移曲线如图5所示。由图5可知，优化后结构极限承载力由30.386 kN增加到33.035 kN，高于等效节点荷载20.0 kN，有效提升了结构的安全性。同理对结构施加三向El-Centro地震波，逐级提高地震加速度峰值，得到地震加速度峰值-节点最大位移曲线(图6)及地震加速度峰值-杆件屈服比例曲线(图7)，由图6及图7可知，优化前结构在地震加速度峰值达到550 gal时，结构节点最大位移为0.094 m，杆件屈服比例为0.451，而地震加速度峰值达到600 gal时结构节点最大位移增大到0.507 m，结构发生动力失稳破坏；优化后随着加速度峰值的提高结构位移逐渐增大，结构发生倒塌破坏时地震加速度峰值提升到655 gal，对应的结构位移和杆件屈服比例分别为0.486 m、0.693，破坏模式为强度破坏。分析结果表明，通过优化节点构形度差异系数，调整结构杆件截面尺寸，可实现网壳结构节点连接性能分布趋于均衡，其延性和极限承载力有较大提升，地震作用下结构破坏模式有所改善。

图5 K6N6型单层球面网壳结构荷载-位移曲线Fig.5 Maximum displacement-load of the K6N6 single-layer reticulated shell

图6 K6N6型网壳结构地震加速度峰值-位移曲线Fig.6 Maximum displacement-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

图7 K6N6型网壳结构地震加速度峰值-杆件屈服比例Fig.7 Yield element ratio-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

4.2 15 m跨度单层柱面网壳

如图8所示的单层柱面网壳结构，跨度为15.0 m，长度20.0 m，矢高为3.0 m，纵向设置固定支座，结构杆件材料采用Q345钢材，杆件截面尺寸为114.0 mm×4.5 mm，弹性模量为210.0 GPa，密度为 7.85×103kg/m3，泊松比为0.3。杆件屈服强度为345.0MPa，等效节点力为10.5 kN，各杆件的应力和结构位移均满足设计要求，结构杆件分组如表3和图9所示。

图8 一单层柱面网壳结构Fig.8 A cylindrical reticulated shell structure model

图9 单层柱面网壳的杆件分组(1/4模型)Fig.9 Member group of the cylindrical net shell (1/4 model)

表3单层柱面网壳的杆件分组Table 3 Member group of thecylindrical net shell

同理采用粒子群优化算法对结构杆件的截面尺寸进行优化，图10为目标函数值的变化过程曲线。由图10可知，原结构的节点构形度差异系数数值较大，说明各节点间的连接能力差异较大，优化后节点构形度差异系数明显减小，其值从0.658降至0.536。在控制结构材料用量不高于原结构的条件下，优化后各组杆件的截面尺寸如表4所示。此时结构杆件的最大长细比为86.5，按杆件强度验算其最大应力为286.14N/mm2，按结构稳定性验算其最大应力为307.01N/mm2，均满足设计约束条件。

图10 优化中柱面网壳的节点构形度差异系数曲线Fig.10 The difference curve of nodal well-formedness in the optimization of the cylindrical net shell

表4 优化后单层柱面网壳各杆件的截面尺寸Table 4 The member cross-sectional dimensionsin each group of thecylindrical net shell after optimization

同理对该网壳结构进行极限承载力分析得到结构的荷载-位移曲线(图11)。由此可知，优化后结构的极限承载力由20.68 kN增加到27.40 kN，远大于等效节点荷载标准值10.5 kN，其安全性能得到有效提升。同理对结构施加三向El-Centro地震波，得到的地震加速度峰值-节点最大位移曲线及地震加速度峰值-杆件屈服比例曲线如图12、图13所示，可知，原结构随着地震加速度峰值不断提高，其刚度不断弱化，地震加速度峰值为550 gal时结构位移为0.260 m，地震加速度峰值再增加50 gal时，其位移突增，结构发生强度破坏；而优化后，地震加速度峰值达到700 gal时，结构发生倒塌破坏，此时结构位移为0.438 m，屈服杆件比例为0.500，其抗震能力有明显提升。同样说明通过优化结构杆件的截面尺寸，降低结构节点构形度差异系数数值，可有效地提升结构的稳定性，结构极限承载力及抗震性能得到有效改善。

图11 柱面网壳结构的荷载-位移曲线Fig.11 Maximum displacement-load of the cylindrical net shell

图12 柱面网壳结构的地震加速度峰值-位移曲线Fig.12 Maximum displacement-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

图13 柱面网壳结构的地震加速度峰值-杆件屈服比例Fig.13 Yield element ratio-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

5 结论

本文基于结构构形易损性理论中的节点构形度概念提出了节点构形度差异系数，用于评价网壳结构节点的连接能力，在此基础上，为合理利用材料，以降低节点构形度差异系数为优化目标，通过粒子群算法优化结构杆件截面尺寸，实现结构整体刚度分布的均衡性，以提高结构的极限承载力和整体性能。主要结论如下：

(1)基于节点构形度概念建立的节点构形度差异系数可以准确评价结构刚度分布的均衡性，结构节点构形度差异系数值越大，结构刚度越不均衡，对其极限承载力和抗震性能影响较大。

(2)以降低结构节点构形度差异系数为目标函数，通过优化各杆件的截面尺寸，可实现结构刚度的均衡分布。结构极限承载力明显提升，地震作用下其破坏模式显著改善，结构整体刚度弱化过程有所延长。