石 玉，孔 鹏，毕仁贵，邓 科，赵鹤平

(吉首大学 物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000)

0 引言

声波在特定条件下可以形成携带角动量的涡旋场，这种携带角动量的声波被称为涡旋声束或者声涡旋，近年来，声涡旋[1]在粒子操控[2-3]、医疗[4]及信息通信[5-6]等方面的研究受到了广泛关注.声涡旋所携带角动量是轨道角动量，其开辟了一个声波操控的新自由度[7-8].涡旋波的等值面呈现螺旋状扭曲，幅值呈现出类似黑洞的分布，越靠近中心越趋近于零[9].随着声学技术的发展，对声学涡旋的操控有了更多的需求.在传统的弯曲波导中，声波由于衍射效应[10]会在弯曲处产生反射波，导致波阵面被破坏.使用零折射率超材料[11]可以消除这样的影响.在声学零折射率材料[12]中，声波的相速度无限大，声波在通过零折射率材料时相位不变.这种特殊性质也在波前调控[13]、隐身[14]等方面获得了应用.随着研究的进一步深入，人们发现声子晶体在最简布里渊区中心的简并点频率处可以等效为零折射率材料[15-16].在这种特殊简并点频率附近，由于模态的偶然简并，能带的斜率转化为线性.并且，除了线性相交的能带外，其中心还具有平直带与其相交.由于这种狄拉克点是通过偶然简并得到的，因此其材料、结构参数都可以控制其简并度.为了与狄拉克点区别, 这种简并点被称为类狄拉克点[17-18].Liu等[19]首次报道了布里渊区中心类狄拉克点简并退化所产生的“双零效应”.Ashraf[20]等提出在自然条件下产生“双零”折射率的声子晶体的条件，紧随其后，Xu等[21]在理论和实验基础上构建了具有三维“双零”折射率的声子晶体，展示了对声波独特的操纵.相比于超材料实现的零折射率，声子晶体的零折射率效应在实验上实现更加简单方便，而且具备广泛的应用前景.

设计了一种具有零折射率效应的声子晶体，通过改变柱子的参数h实现了在布里渊区中心的三种偶极模式和单极模式的诱导简并.并且通过有限元仿真软件研究声子晶体内部的声波传输特性.研究发现，在四重简并点附近，声子晶体的有效倒体积模量和有效质量密度在类Dirac频率处均趋近于零.仿真结果表明在该频率时声波的速度无限大，产生“隧穿效应”[22].利用该声子晶体设计了一种弯曲声学波导，声涡旋波可以完美透过该三维弯曲声学波导，既可以保持高透射率，又不会改变涡旋波的拓扑荷.

1 声子晶体设计与计算方法

零折射率的声子晶体如图1所示，其为一个具有四重简并类狄拉克点三维声子晶体，该声子晶体原胞由钢柱嵌入边长为a=12 cm立方体空气域所组成.如图1(a)所示，钢柱分别在x,y,z三个方向以直角交叉的方式嵌入每一面的中心，在3个方向上形成一个大的闭环.原胞晶格常数为a=12 cm，钢柱长度为a、宽度为h、厚度为h/2、杨氏模量E=216 Gpa、泊松比ν=0.267、密度ρ=7760 kg/m3；空气的声速c0=343 m/s、密度ρ0=1.21 kg/m3.数值模拟的边界条件采用Floquet周期性边界条件，另外，由于空气和钢柱之间存在较大的阻抗失配，嵌有钢柱的部分被设定为硬边界，文中的所有数值模拟结果均借助于Comsol Mutiphysics有限元软件.如图1(b)所示，通过该声子晶体的能带曲线可以观察到：当h=0.26a时，声子晶体的最简布里渊区中心的第二到第四条能带在频率f=2 280 Hz时出现三重简并，并且在该简并点上出现三个方向上的偶极共振模式(如图1(c),1(d),1(e)所示)，在频率f=2 417 Hz时出现单极共振模式(如图1(f)所示).研究结果表明，由于晶格的对称性保护，布里渊区中心的共振模态稳定存在.改变晶格常数a并不会对共振模式产生影响，只会改变这些模态的本征频率大小.

图1 声子晶体晶胞图(a)深色为钢，其余为空气域，晶格常数为a,采用a×h×h/2规格的钢块分别嵌入空气域中，形成声子晶体的原胞.(b) h=0.26a时声子晶体能带图.(c) x方向的偶极共振模式图.(d) y方向的偶极共振模式图.(c) z方向的偶极共振模式图.(f) 单极共振模式图.(b) h=0.286 61a时声子晶体能带图.Fig.1 Phononic crystal unit cell diagram. (a) The dark color is steel, rest is air, the lattice constant is a, and the a×h×h/2steel blocks of the specifications used are respectively embedded in the air domain to form the cell of the phononic crystal. (b)h=0.26a band diagram of phononic crystal. (c) Dipole resonance mode diagram in the x direction. (d) Dipole resonance mode diagram in the y direction. (c) Dipole resonance mode diagram in the z direction. (f) Unipolar resonance mode diagram. (b)h=0.268 8 1a band diagram of phononic crystal

当h=0.286 61a时，声子晶体的能带关系如图1(g)所示，布里渊区中心的能带出现简并，并且生成一个四重简并点，该四重简并点被称为三维立方晶格布里渊区中心的类狄拉克点，简并点上下的两条锥形色散线与中间的两条相对平滑的色散线相交在这个四重简并点上，该简并点频率f=2 270.3 Hz，对应的单极共振模式和偶极共振模式在此频率点上简并，也就是说改变了钢柱在原胞中占有的体积时，共振模式的本征频率也随之出现简并退化的现象.因此，声子晶体在该简并点频率处可以同时具有单极共振模式带来的新的有效模量和偶极共振带来的有效密度[23].随着钢柱的体积占比逐渐提高，能带会发生反转，单极共振模式和偶极共振模式的频率大小发生互换.

如图2所示，为了验证该声子晶体在类狄拉克点频率处具有“双零效应”，使用有效参数检索法[24]在类狄拉克点频率附近检索声子晶体有效倒体积模量和有效质量密度.由于该声子晶体的类狄拉克锥是各向同性的，在各个方向上声波的传输性质也是相同的，对模拟过程中，只需要对单个方向进行求解就可以得到声子晶体全部的性质.如图2(a)所示，设置平面波从x方向入射，计算出其透射系数以及反射系数，进而得到通过声子晶体的有效折射率以及有效阻抗，即可求出该声子晶体的有效密度及有效倒体积模量.研究结果表明，在f=0.794 3c0/a时，该声子晶体的有效倒体积模量和有效质量密度同时趋近于零(如图2(b)、(c)所示).因此，在波导内透过声子晶体的等效速度c2=1/ρβ接近于无限大，声波的波长远远大于设计的零折射率材料的结构尺寸，声波可以透过弯曲结构或者缺陷而不受影响，其模式不会发生改变.

2 声学波导设计与讨论

基于以上结论，设计了一种填充单排声子晶体的三维弯曲矩形波导(如图3(a)所示)，黑色虚线部分表示在波导的弯曲处填充了具有零折射率效应的声子晶体，波导管的截面积为12 cm×12 cm.利用有限元软件Comsol Mutiphysics进行数值模拟，波导的外部条件均为硬声场边界，工作频率为类狄拉克点频率f=0.794 3 c0/a.如图3(a)所示，涡旋声波从x端入射，经过波导的弯曲处转向y方向传输，进而再转向z方向出射，涡旋波模式不产生任何变化.这是由于在类狄拉克点频率处，声子晶体具有“双零效应”，涡旋波的透射波长远大于弯曲波导的尺寸，声波通过波导的弯曲处时，弯曲处就如同不存在一般，可以直接透过而不受影响，因此，涡旋波模式不会发生变化.对该波导内传输的声场进行分析，截取波导入射端平面处(如图3(b)所示)和末端处平面(如图3(c)所示)，可以观察到，截面上绝对压力值的分布均表现为从边缘向中心部分逐渐减弱，在中心点压力值为零.并且，沿着S(相位图上圆圈弧长)旋转一周来提取声波导两端平面的相位，忽略相位突变的影响，两端的相位均有-π到π的变化(如图3(b)、(c)所示).这与涡旋波的模式是完全相符合的.并且，相位的变化方向随S的变化方向是一致的，这代表了涡旋波在该弯曲波导中转向传输，其拓扑荷并未发生改变.

图3 设计的波导示意图.(a)填充了声子晶体的波导工作示意图.(b)填充声子晶体的波导管入射端截面声压与相位分布图.(c)填充声子晶体的波导管出射端截面声压与相位分布图.(d)空波导传输声涡旋示意图.(e)空波导入射端截面声压和相位示意图.(f)空波导出射端截面声压和相位分布图.Fig.3 Schematic diagram of the designed waveguide. (a) Schematic diagram of the waveguide filled with phononic crystals. (b) The cross-sectional sound pressure and phase distribution diagram of the incident end of the waveguide filled with phononic crystals. (c) The cross-sectional sound pressure and phase distribution diagram of the exit end of the waveguide filled with phononic crystals. (d) Schematic diagram of acoustic vortices transmitted in an empty waveguide. (e) Schematic diagram of sound pressure and phase at the incident end of the hollow waveguide. (f) The air wave is derived from the sound pressure and phase distribution diagram of the launching end section

为了对比该声子晶体波导的传输特性，设置了一个空的弯曲声学波导，向空声学波导中入射涡旋波，其传输模式如图3(d)所示，在传输到x-y方向转角处时，由于在弯曲的直角处会产生强烈的反射和衍射，波形开始变得混乱，当传输到y-z方向出射后，已经无法保持原来的涡旋波模式，波形已经完全混乱.对空波导内的声场进行分析，如图3(e)所示，入射端截面处的声场分布，其绝对压力值存在中心零点，相位分布也符合OAM模式.而出射端的绝对压力值出现一个劈裂式的分布(如图3(f)所示).提取其出射端的相位，可以观察到，其相位分布极其不规律，不能满足涡旋波的传输模式，其携带的拓扑荷也已经完全丢失.以上结果表明，填充了这类声子晶体的声学波导，能够操控涡旋波在弯曲波导内实现稳定传输.

3 结束语

设计了一种具有零折射率效应的声子晶体，其晶格的高对称性保护了其单极模式和偶极模式的简并，并且在布里渊区的中心通过诱导简并的方法生成了类狄拉克点，在类狄拉克点频率处，声子晶体具有零质量密度和零倒体积模量的效果，产生零折射率的效应.利用声子晶体填充入声波导内，能够操控涡旋波实现弯曲传输，并且保持了其涡旋波模式的稳定.通过仿真展示了该声子晶体波导对涡旋波操控的优越性能，为涡旋波的操控提供了新的方法.