梁 伟，秦开宇，高晓东，蒋仁奎

（1.电子科技大学 航空航天学院，四川 成都611731；2.中国科学院 光电技术研究所，四川 成都610209）

1 引言

随着国际上大口径、长焦距空间光学望远镜的发展，望远镜的成像分辨率越来越高，望远镜对指向精度以及指向稳定度的要求越来越高，对微振动也越来越敏感［1-2］。多色成像与无缝光谱巡天相机（以下简称巡天相机）是大视场空间天文望远镜最重要的科学终端载荷之一，将用于开展极具科学竞争力的高空间分辨率、大面积天区的多色成像与无缝光谱巡天观测工作。

机械快门安装在巡天相机上对焦平面进行曝光控制，是距离焦面组件最近的振动源，快门运行时所带来的激振力会降低成像分辨率，须对其进行抑制。机械快门的通光口径达到610 mm×590 mm，巡天相机在轨工作10年，快门开、合次数约为100万次。鉴于巡天相机对机械快门的长寿命、高可靠性要求，快门采用旋转对开式，由电机直接驱动，无传动机构，具有结构简单、可靠性高的特点，可满足寿命长的要求。因为可靠性高，垂直光轴方向占用空间小，这种旋转开闭式机构广泛应用于空间望远镜上，如哈勃望远镜（Hubble Space Telescope）［3-4］，钱德拉X射线太空望 远 镜（Chandra X-ray Observatory）［5-7］，伦 琴X射线天文台（ROSAT）［8-9］和XMM-牛顿卫星（Xray Multi-Mirror Mission）［10-11］等，但 多 用 于 望 远镜光学前端的遮光系统。这些遮光系统的功能主要是避免望远镜内部器件收到强光照射，在望远镜工作时打开遮光盖，在望远镜不工作时关闭遮光盖，打开和关闭时间一般较长。遮光系统远离焦面组件，且工作过程中望远镜焦面组件并未工作，对成像质量的影响小，与巡天相机的机械快门区别较大。

为了降低旋转机构运行产生的激振力对焦平面的影响，通常使用静动平衡方法抑制其激振力。欧几里得空间望远镜（Euclid space mis⁃sion）［12-13］中可见光成像仪（Euclid-VIS）采用的快门形式与巡天相机的机械快门类似，通过严格的静平衡与动平衡措施［14］抑制振动，取得了很好的效果。而巡天相机的机械快门受空间和质量等约束难以采取静动平衡措施，由于快门的运行频率f小于1 Hz，若采用传统的隔振措施，隔振器隔振频率小于0.707f时才会发挥隔振效果［15-16］，这会大大削弱机械快门的支撑刚度，稳定性差。

在静动平衡和被动隔振措施等都无法实施的情况下，本文通过优化快门驱动曲线从源头上抑制它对安装面的Z向激振力。建立机械快门的激振力数学模型，以竖向激振力绝对值的峰值最小为优化目标，选择单纯形法对快门驱动曲线进行数值优化，并通过有限元仿真对数学建模进行修正和优化，使快门组件的Z向激振力得到了抑制。

2 快门微振动建模

巡天相机机械快门由功能相同的正Y侧快门、负Y侧快门和支撑座构成。建立坐标系OXYZ，在两转轴轴线形成的平面内，轴线方向为X方向，两转轴平面法向向上为+Z方向，Y方向由右手原则确定，如图1所示。其中，单侧快门是指单轴系的旋转运动机构（即指正Y侧快门或负Y侧快门），机械快门指巡天相机中两组单侧快门（正Y侧快门和负Y侧快门）组合实现的功能组件。

图1 巡天相机及机械快门布局Fig.1 Layout of mechanical shutter of survey Camera

两侧快门叶片同时反方向转动，即可实现快门的打开和关闭功能。在快门打开和关闭的过程中，由于叶片质量偏心将产生激振力，两组单侧快门对称布置，Y向激振力被抵消，而Z向激振力却叠加。激振力会造成焦平面的微振动，此时焦平面处于积分状态，因此快门打开和关闭产生的振动均对成像有影响，需要采取相应措施来抑制激振力。

2.1 快门简化模型

单侧快门简化模型如图2所示。规定快门叶片与水平面夹角θ为叶片转角，当θ=0°时，快门完全关闭；当θ=90°时，快门完全打开。将快门叶片简化为质点，质量为m，质心与转轴的距离为r。

图2 单侧快门简化模型Fig.2 Simplified single-sided shutter model

假设叶片转角θ与时间t的曲线为θ（t）。如图2左所示，在t时刻叶片偏心产生的离心力Fr为：

其Z向分量为：

如图2右所示，在t时刻叶片加速或减速对转轴的作用力为：

其Z向分量为：

在t时刻单侧快门Z向合激振力为：

根据任务规划，典型的快门运行过程如下：快门打开和关闭的时间为0～1.3 s；快门保持打开状态，持续时间为150～200 s。

2.2 建立优化目标与约束

机械快门对安装面的Z向激振力为正Y侧快门与负Y侧快门Z向激振力之和，且两侧快门的叶片惯量一致，即机械快门Z向激振力为单侧快门Z向激振力的两倍，优化目标可转换为单侧快门Z向激振力峰值的绝对值最小。优化目标为：

在开关打开或关闭的过程中，t=0～1.3 s内峰值最小，其中快门的叶片质量m=1.476 kg，r=0.17 m。优化的约束条件如下：

式中：θ(0)为快门叶片在初始时刻0对应的转角；θ̇(0)对应开闭初始时刻的角速度；θ(1.3)为快门叶片在结束时刻1.3 s对应的转角；θ̇(1.3)对应开闭结束时刻的角速度。

根据建立的模型，选取了方波、三角波与正弦波等工程广泛应用的波形作为快门的驱动曲线，不同波形的角加速度、角速度和角度曲线如图3～图5所示。

图3 方波驱动曲线Fig.3 Square wave driving curves

图4 三角波驱动曲线Fig.4 Triangle wave driving curve

图5 正弦波驱动曲线Fig.5 Sine wave driving curves

3种驱动方式下单侧快门的Z向激振力曲线如图6所示。方波、三角波与正弦波驱动方式下单侧快门Z向激振力的峰值绝对值分别为1.68，1.80与1.46 N。在不同驱动方式下，激振力的响应峰值和响应曲线均有所不同，方波驱动响应曲线的局部处得到了改善，因此改变快门驱动曲线可以改变激振力响应，通过驱动曲线优化来抑制激振力。

图6 方波、三角波与正弦波驱动方式下单侧快门Z向激振力曲线Fig.6 Vertical excitation force curve of single-side shut⁃ter under square wave，triangle wave and sine wave driving modes

3 驱动曲线优化

由于优化目标的特殊性，即F z(t)在t的一定取值范围内的函数绝对值峰值最小，目标值无法求导，常规的梯度优化方法如坐标轮换法、最速下降法、牛顿法、共轭梯度法和变尺度法均不适用［17］。单纯形法作为非梯度优化方法［18］，其收敛速度快、稳定性好，变量个数不受限，还可通过变换初始顶点避免局部最优，适用于优化巡天相机机械快门的驱动曲线，因此本文采用单纯形法优化目标。为了避免陷入局部最优解，在可行域内随机取初始顶点，并多次计算，选择所有计算结果中的最优值。

将快门叶片角度曲线表示为傅里叶级数，即有：

由于式（7）约束的存在，n≥2，实际变量个数k=2n-3，T设置为2.6，将θ(t)延长为周期函数。将θ(t)带入式（6），利用单纯形法优化傅里叶级数的参数，使它在满足工程约束的条件下，Z向激振力的绝对值最大值最小。通过多次优化尝试，将优化参数α，β，γ和ε分别设置为2，0.7，0.7和0.00001，能较好地兼顾算法的稳定性和效率。

随着优化变量个数的增多，θ(t)的自由度增加，目标函数最优解越来越小，每次优化的迭代次数和计算时间的增加。当目标函数最优解趋于稳定后停止优化迭代，如图7所示。优化后单侧快门的激振力曲线如图8所示，最大绝对值为0.77 N，较正弦驱动方式减小47%；而两组单侧快门组合而成的机械快门激振力为1.54 N。优化后傅里叶级数各个变量值如表1所示。快门驱动曲线如图9所示。

图7 傅里叶级数变量优化过程Fig.7 Fourier series variable optimization process

图8 优化后单侧快门的Z向激振力曲线Fig.8 Optimized vertical excitation force curve of singleside shutter

表1 优化后傅里叶级数各个变量的值Tab.1 Value of each variable of optimized Fourier series

图9 优化后的快门驱动曲线Fig.9 Optimized shutter driving curves

4 有限元分析及验证

为了获取机械快门结构的动力学特性，建立机械快门的有限元模型进行模态分析。采用RBE2单元模拟快门轴承，并限制RBE2单元转轴方向自由度，以对叶片进行锁紧，其余零件之间为绑定约束，快门支撑座底面为固定面，计算坐标如图10所示。

图10 机械快门的有限元模型Fig.10 Finite element model of mechanical shutter

快门的一阶模态频率为51 Hz，表现为叶片的X轴转动振型，如图11所示。快门的二阶模态频率为54 Hz，表现为叶片的Y轴扭转振型，如图12所示。快门的三阶模态频率为111 Hz，表现为叶片的呼吸振型，如图13所示。

图11 机械快门的一阶振型Fig.11 First-order mode shape of mechanical shutter at 51 Hz

图12 机械快门的二阶振型Fig.12 Second-order mode shape of mechanical shutter at 54 Hz

图13 机械快门的三阶振型Fig.13 Third-order mode shape of mechanical shutter at 111 Hz

为验证所建立的微振动激振力数学模型和单纯性法的优化结果，以优化后的快门叶片角度曲线θ(t)作为输入，对机械快门进行瞬态分析，模拟机械快门打开动作。有限元分析结果如图14所示，在启动和停止时刻，机械快门突变的驱动力造成快门的零状态响应，最大幅值为1.86 N，该响应在阻尼作用下迅速衰减。其原因是激振力数学模型未考虑快门结构的动力学特性，忽略了快门在启动和停止时刻的响应，而在其他时刻的有限元分析结果与理论曲线一致，还需要进一步修正数学模型。

图14 驱动曲线优化后机械快门的Z向激振力响应Fig.14 Response of vertical excitation force of mechani⁃cal shutter with optimized driving curve

机械快门突变的驱动力矩还造成了其他两个方向的激振力，在X向激振力幅值达到0.73 N，如图15所示。对X向激振力进行频谱分析，结果表明激振力频率主要集中在48 Hz和108 Hz。如图16所示，它们分别对应快门的一阶和三阶模态频率，即快门突变的驱动力矩激起了叶片的X轴转动和呼吸振型，叶片的共振加剧了快门的激振力。

图15 驱动曲线优化后快门的X，Y向激振力响应Fig.15 Response of excitation forces in X and Y direc⁃tions of mechanical shutter with optimized driv⁃ing curve

图16 X向激振力的频谱曲线Fig.16 Spectrum curve of X-direction excitation force

5 数学模型修正

根据有限元分析结果，在启动和停止时刻，快门突变的驱动力矩会带来较大的冲击，造成快门共振，加剧各方向的激振力，且激振力中的中频成分与结构耦合产生响应。所以还需修正数学模型，消除突变力矩，增加数学约束如下：

同样将θ(t)表示成式（8）中的傅里叶级数，利用单纯形法优化傅里叶级数的参数，优化变量个数达到13时，目标函数最优解的变化率趋近于零，目标函数收敛于0.86 N，如图17所示。

图17 修正后单侧快门的Z向激振力曲线Fig.17 Modified vertical excitation force curve of singleside shutter

修正后傅里叶级数各个变量值如表2所示，傅里叶级数快门驱动曲线如图18所示。

图18 修正后的快门驱动曲线Fig.18 Modified shutter driving curves

有限元瞬态分析结果表明：修正后的驱动曲线在机械快门启动和停止时刻对快门的冲击较小，机械快门的Z向激振力与数学模型分析值一致，最大幅值均为1.72 N，如图19所示，由此验证了数学模型的正确性及优化方法的有效性。

图19 驱动曲线修正后机械快门的Z向激振力响应Fig.19 Response of vertical excitation force of shutter with modified driving curve

驱动曲线修正后，机械快门其他两个方向的激振力也得到抑制，如图20所示。X向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N，降低97.5%；Y向激振力幅值为0.006 N。耦合共振响应得到显著抑制。

图20 驱动曲线修正后快门的X、Y向激振力响应Fig.20 Response of excitation force in X and Y direction of shutter with modified driving curve

对机械快门3个方向的激振力进行合成，结果如图21所示。修正后机械快门激振力合力为1.72 N，优于修正前的1.87 N，且激振力曲线更加平滑，中频成分得到抑制，不会与结构耦合共振，激振力的抑制效果更好。

图21 驱动曲线修正前后机械快门的三向激振力合力曲线Fig.21 Resultant force curves of shutter excitation force before and after modification of driving curve

6 结论

本文提出的大口径机械快门为旋转对开式结构，该结构形式实现了两转轴平面内的激振力对消，两转轴平面法向的激振力加倍，采用驱动曲线优化方式进行了激振力抑制。建模及优化结果表明，与结构耦合产生的微振动的中高频成分得到充分抑制，转轴的轴向激振力幅值由0.73 N降低至0.018 N；两转轴平面法向激振力由2.92 N降低至1.72 N，降低了41%。数学建模优化结果与有限元瞬态分析结果是一致的，从而验证了数学模型的正确和优化方法的有效。该激振力抑制方法也适用于旋转类机构的减振设计与优化。