邱正萍，洪文豪，汤自凯

(湖南师范大学 数学与统计学院，湖南 长沙，410081)

连通图G如图 1所示，图G的距离矩阵D(G)与离心矩阵ε(G)分别如下：

图1 连通图GFig.1 A connected graph G

由于离心矩阵ε(G)是对称矩阵，因此,图G的离心矩阵的特征值为实数。设ε1>ε2>…>εt为图G离心矩阵各不相同的特征值，则图G的离心矩阵的谱Specε(G)可写为

其中：ni表示特征值εi的重数(1≤i≤t)[4]。

文献[1-4，8-13]研究了图的离心矩阵及其谱的有关性质，如图连通性与图离心矩阵的不可约性、离心矩阵与邻接矩阵的特征值之间的联系、离心矩阵的谱半径的上下界等。文献[3]给出了冠图Kn°G、轮图Wn,Cocktail-party图CP(n)，完全k部图等的离心矩阵的谱，棒棒糖图Lm，n和路Pn相应离心矩阵的不变量(正负惯性指数)等。

本文主要研究图运算的离心矩阵的谱，给出了冠图(Cn°Pm,Cn°Cm),(n，1)-杠铃图Bn，1和2个双重积图(G1■kG2，G1◇kG2)的离心矩阵的谱具体计算公式等。

1 预备知识

引理3[3]设矩阵A∈Rn×n、B∈Rm×m，矩阵A的谱为Spec(A)={λ1，λ2，…，λn}，矩阵B的谱为Spec(B)={μ1，μ2，…，μm}，则Spec(A⊗B)={λiμj∶i=1，2，…，n；j=1，2，…，m}。

2 主要结论

先给出一个重要的引理。

证明由Schur补集公式和引理2，可得矩阵M的特征多项式为

设圈Cn的顶点集V(Cn)={v1，v2，…，vn}，图G的顶点集的顶点集V(G)={u1，u2，…，um}，对图G复制n次后所得图记作Gi(1≤i≤n);设图Gi的顶点集的顶点集V(Gi)={ui1，ui2，…，uim}，将图Gi的每一个顶点同圈上的顶点vi相连后得到的图定义为圈Cn与图G的冠图Cn°G。 下面给出冠图Cn°G(G是连通图)的离心矩阵谱的计算公式。

定理1 假设Cn与Pm分别是n阶的圈、长度为m-1的路。

1)当n=2k时，有

2)当n=2k+1时，有

证明假设圈的顶点集为V(Cn)={v1，v2，…，vn}，路的顶点集为V(Pm)={u1，u2，…，um}，令i=1，2，…，n;j=1，2，…，m，将路Pm复制n次记作Pmi，其顶点集记为V(Pmi)={ui1，ui2，…，uim}，令Vj={u1j，u2j，…，unj}，那么冠图Cn°Pm的顶点集为{V(Cn)，V1，V2，…，Vm}。对冠图的顶点进行适当的排序后可得Cn°Pm,有如下形式的距离矩阵:

其中:J是n阶的全1矩阵;D是圈Cn的距离矩阵;I是n阶的单位矩阵。