张亚平

(邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000)

分数微积分理论是研究任意阶微分和积分的数学性质和应用的一种理论。分数阶微积分算子具有非局部性，非常适用于描述现实生活中具有记忆以及遗传性质的材料[1-4]。1926年，Richardson发表了关于湍流扩散的论文,反常扩散被世人所关注。在许多复杂的系统里，扩散过程不再呈现高斯分布，相应的第二定律也不能描述相关的传输行为，而次扩散运动在反常碎片形几何上的传输、多孔渗水系统等问题中都特别重要[5]。然而，分数阶微分方程的解析解都含有复杂的特殊函数，且很多方程无法得到解析解，故研究分数阶微分方程的数值解很有必要。分数阶微分方程的数值解法和经典微分方程的解法很相似。有限差分法的优点是格式构造简单[6-7]；有限元法能适应复杂的求解区域[8-9];谱方法，包括拟谱方法、谱配置法、谱tau和谱Galerkin方法等[10-12]；另外，还有BHALEKAR等[13-14]提出的新迭代方法(NIM)、变分迭代法(VIM)和Adomian分解方法(ADM)[15]等。本文运用NIM，在文献[16]的基础上进行进一步研究。下面分别介绍NIM在非线性反常次扩散方程(NA-SubDE)和非线性时空分数阶反应-扩散方程(NTSFRDE)中的应用。

1 预备知识

考虑下面一般的函数方程：

(1)

(2)

非线性算子N分解为

(3)

定义递推关系：

(4)

得到式(1)和(2)的k项近似解为u=u0+u1+…+uk-1。

2 非线性反常次扩散方程[17]

2.1 NA-SubDE的迭代格式

(5)

u(x,0)=p(x)

(6)

(7)

(8)

假设

再由非线性算子N分解式(3)得到式(7)的等价形式为

(9)

由递推关系式(4)得到

u1+…+um+1=N(u0+…+um)；m=1,2，…,

和

式(7)的k项近似解为u=u0+u1+…+uk-1，增加分解序列的项能减少总体误差。

2.2 数值试验

考虑非线性反……