周后卿,姚志雄

(1.邵阳学院 理学院，湖南 邵阳，422000；2.邵阳市第一中学，湖南 邵阳，422000)

图的拓扑指数是一个可以用来描述分子图的某些性质的不变数值量，拓扑指数可以分为几个不同的组，用分子图代表碳氢化合物有机分子的碳原子骨架，作为分子结构描述符在化学领域得到了广泛应用[1-3]。近几十年来，对图的拓扑指数研究取得了丰硕成果，这些研究成果对定量结构-活性/性质关系(quantitative structure-activity/property relationship，简写成QSAR/QSPR)的研究以及生物和化学化合物的结构性质研究都有一定的参考价值。Zagreb指数是化学图论中的一个重要拓扑指数，关于Zagreb指数有许多研究成果，参见文献[4-9]。基于顶点度的指数是研究较多和应用较广泛的一类指数,仅仅依赖于分子图的顶点度。1998年，ESTRADA等[10]提出了原子键连通性(atom-bond connectivity)指数(简称ABC指数)，定义为

该指数为直链烷烃和支链烷烃的稳定性以及环烷烃的应变能提供了良好的模型,关于该指数的研究结果见文献[11-14]。受ABC指数的启发，FURTULA等[12]提出了ABC指数的修改版本，称为增强型Zagreb指数(augmented Zagreb index, 简记作AZI)。

在研究庚烷和辛烷的生成热时，增强型Zagreb指数(AZI)预测能力强于ABC指数[15]。

设G=(V,E)是具有n个顶点、m条边的简单连通图，图G的顶点集记作V={v1,v2,…,vn},图G的边集用E表示。顶点vi的度记作di。设图G的度序列为{d1,d2,…,dn}，最大度记作Δ。那么，定义图G的第一类Zagreb 指数和第二类Zagreb指数分别为

人们对增强型指数进行了研究，获得了一些有价值的结论[15-22]。特别是文献[23]刻画了所有顶点固定的C-圈图中具有最小增强型Zagreb指数的唯一图的特征。

本文讨论具有最大度的任意图的增强型Zagreb 指数的界问题。……