李煜彦

(陇南师范高等专科学校 数信学院,甘肃 陇南 742500)

0 引言

1 预备知识

本文中的环都是有单位元的结合环,模指酉右R-模,挠理论均指遗传挠理论.用τ(M)表示M的所有τ-挠子模的和.由文献[12]知,τ(M)仍是M的τ-挠子模,且τ(M)={m∈M|(0∶M)∈Fτ(R)}=∩{N≤M|N∈Pτ(M)}.与挠理论有关的其他符号可参见文献[12]和[13].设M∈R-Mod,f∈End(M),令τM(f)={m∈M|fM∈τ(M)}.

定义1[11]称M是τ-Rickart模,如果对任意f∈End(M),τM(f)是M的直和因子.

引理1[14]对于环R,以下等价:①R是半单的；②R有半单右生成子;③ 右R-模的每个短正合列0→K→M→N→0都可分.

引理2[14]环R是半单的当且仅当每个右R-模都是投射的.

引理3[11]τ-Rickart模的直和因子仍是τ-Rickart模.

引理4[11]对于模M,以下等价:

①M是τ-Rickart模;②M=τ(M)⊕Μ＇,其中Μ＇是(τ-挠自由) Rickart模;③对任意f∈End(M),f-1(τ(M))是M的直和因子.

2 主要结论

命题1若环R是半单的,则任意R-模M都是τ-Rickart模,且其τ-挠子模τ(M)是投射的.

证明设M是任意R-模,f∈End(M).因为R是半单的,所以由引理1和引理2知,τ(M)是投射的,且短正合序列0→τM(f)→M→M/τM(f)→0可分.于是τM(f)是M的直和因子,从而M是τ-Rickart模.

下面结论说明,在满足一定的条件下,τ-Rickart模的全不变子模仍是τ-Rickart模.

命题2设M是τ-Rickart模,N是M的全不变子模.如果N的任意自同态都可以扩张到M的自同态,则N是τ-Rickart模.

证明设N是M的全不变子模,且N的任意自同态都可以扩张到M的自同态.设g∈End(N),则存在f∈End(M),使得f|N=g.因为M是τ-Rickart模,所以τM(f)是M的直和因子.于是存在e2=e∈End(M),使得τM(f)=eM.设e1=e|N,由于N是M的全不变子模,故e1=e12∈Eed(N).下证τN(g)=e1N.显然τN(g)⊆e1N.另一方面,设x∈N,则ge1(x)=ge(x)∈τ(M)∩N=τ(N),于是e1(x)∈τN(g).因此e1N⊆τN(g),从而τN(g)=e1N,所以N是τ-Rickart模.

称模M是拟内射的,如果M是M-内射的.众所周知,任意拟内射都是其内射包的全不变子模,于是由命题2,可得如下结论.

命题3 设模M是拟内射的.若E(M)是τ-Rickart模,则M是τ-Rickart模.称M是duo模,如果M的任意子模都是全不变的.

命题4设M是拟内……