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一类寿命分布的贝叶斯估计问题

2021-06-25袁,李

关键词:先验同理定理

陶 袁,李 晶

(吉林师范大学博达学院 数学学院,吉林 四平136000)

0 引言

两参数拉普拉斯BS疲劳寿命分布LB S(α,β)(α>0,β>0)[1],是在两参数BS疲劳寿命分布中引入拉普拉斯分布L(1)得到的,是可靠性工程中的常用分布,该分布更适合描述由于疲劳而导致失效的产品的寿命规律.由于寿命试验中很难得到完全样本,因此根据截尾样本对寿命分布中的参数进行贝叶斯估计尤为重要,目前还没有对两参数拉普拉斯BS疲劳寿命分布的相关研究.

L BS(α,β)(α>0,β>0)分布的分布函数和分布密度分别为:

本文研究当β已知时,α的Bayes估计问题.

1 预备知识

定义1[2]复合Mlinex对称损失函数定义为

定义2平方损失函数的定义为

定义3 Mlinex非对称损失函数

引理1[2]记为α在损失函数(1)下的Bayes估计,则

引理2[3]记为α在损失函数(2)下的Bayes估计,则

引理3[4]记为α在损失函数(3)下的Bayes估计,则

2 主要结果

2.1 后验分布

在寿命试验中,设来自LBS(α,β)(α>0,β>0)总体的容量为n的样本中,前r个观测值依次为x1,x2,...,xr(为方便运算,此处省略了x(i)下标i的括号).则x=(x1,x2,...,xr)的联合分布密度为:

定理1参数α的先验分布选择广义均匀分布,即π(α)=1,α∈(0,M),其中0<M≤∞,则α的后验密度为

证明:当0<x1,...,xr<β时,根据定义

同理,可得另外两个结果.

2.2 复合Mlinex对称损失函数下的Bayes估计

定理2在损失函数(1)下,当α的先验分布取广义均匀分布时,其Bayes估计为

证明:根据定理1,当0<x1,...,xr<β时,

同理,可得另外两个结果.

2.3 平方损失函数下的Bayes估计

定理3在损失函数(2)下,当α的先验分布取广义均匀分布时,其Bayes估计为

证明:根据引理2,当0<x1,...,xr<β时,

同理,可得另外两个结果.

2.4 Mlinex非对称损失函数下的Bayes估计

定理4在损失函数(3)下,当α的先验分布取广义均匀分布时,其Bayes估计为

证明:根据引理3,当0<x1,...,xr<β时,

同理,可得另外两个结果.

3 结语

本文对两参数拉普拉斯BS疲劳寿命分布LBS(α,β)(α>0,β>0)的Bayes估计问题进行了研究.由于寿命试验很难得到完全样本,在截尾情形下对寿命分布中的参数进行贝叶斯估计较为重要,BS疲劳寿命分布是一种复合分布,目前关于这种分布的研究结果较少,本文主要是根据截尾样本,当参数的先验分布为广义均匀分布时,在复合Mlinex对称损失函数、平方损失函数和Mlinex非对称损失函数下,参数的Bayes估计.

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