王 焱，刘桂荣

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

传染病一直危害着人类健康和社会的发展.传染病造成了人类的恐慌和巨大的经济损失，因此对传染病传播进行预测是十分重要的，这将有助于国家制定及时且合理的防疫措施[1].由于人群中不同个体的活动方式的异质性，复杂网络上传染病模型比传统的均匀混合传染病模型更符合实际，进而使得复杂网络上传染病模型的研究受到国内外学者的广泛关注[2-5].此外，传染病传播过程中不可避免地会受到各种随机环境的影响，因此在复杂网络上建立随机传染病模型是更加合理的[6].但复杂网络上随机传染病模型的定性研究比较困难，这方面工作还是较少的.文献[7]建立了下列复杂网络上的随机SIS模型.

dxi(t)=[βsi(t)(1-xi(t))-δxi(t)]dt+σi(xi(t))si(t)(1-xi(t))dBi(t),

(1)

(2)

模型(1)只考虑了每个个体都具有相同的感染率与恢复率.然而，在现实生活中，不同个体的恢复率不同[8-9].例如，不同体质的个体的恢复率不同；不同个体的行为方式不同，如卫生习惯的不同，进而导致恢复率的不同.基于这些机制，在模型(1)的基础上，本文研究下列复杂网络上具有不同恢复率的随机SIS模型

dxi(t)=[βsi(t)(1-xi(t))-δixi(t)]dt+σi(xi(t))si(t)(1-xi(t))dBi(t).

(3)

初始值为(x1(0)，…，xN(0))T.这里β表示节点的感染率，δi表示节点i的恢复率，σi满足(2)式，其他参数与模型(1)的参数相同.

1 随机模型的动力学分析

1.1 全局正解的存在唯一性

定理1任取初值X(0)∈Δ，则模型(3)存在唯一的全局正解X(t)，即对任意t≥0，X(t)∈Δa.s.

下面证明τ∞=∞a.s.如若不然，则存在常数T>0及ε∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>ε.因此对任意n≥n0，令Ωn={τn≤T}，则P(Ωn)>ε.

(4)

其中，

此外，

代入(4)式整理得

进而

令……