离散时滞不确定性控制系统的稳定性分析
2021-06-23吴越王红运刘旭遥
吴越 王红运 刘旭遥
摘 要：随着Matlab LMI工具箱的问世，控制领域中的问题研究得到了改善。但是，完美的应用LMI方法解决离散时滞不确定性系统的鲁棒控制理论问题，仍然需要不断的思考与发现。针对离散时滞不确定性控制系统，为研究它时滞依赖的稳定性判据，通过构造新的Lyapunov泛函的方法以及新的线性矩阵不等式放大的技术，再通过具体定理和定理的证明过程，得出了新的时滞依赖情况下的稳定性判据。同时，也更清晰地说明了时滞依赖的稳定性判据。在实际工业系统中，时滞往往会影响系统的正常工作，使系统处于不稳定的状态，因此研究时滞问题具有重要的现实意义。
关键词：奇异摄动系统 时滞系统 离散系统 稳定性 线性矩阵不等式
中图分类号：TP271 文献标识码：A 文章編号：1672-3791（2021）02（c）-0239-03
Stability Analysis of Discrete Time-Delay Uncertain Control Systems
WU Yue WANG Hongyun LIU Xuyao
（JiLin Normal University， Changchun Jilin Province， 130000 China）
Abstract：With the advent of the Matlab LMI toolbox， problem research in the field of control has improved， but the perfect application of the LMI method to solve the problem of robust control theory for discrete time-delay singularly perturbed systems still requires continuous thinking and discovery. For discrete time-delay uncertainty control system， this paper studies the delay-dependent stability criteria for discrete-time control systems with time-varying delays， by constructing a new Lyapunov functional method and a new linear matrix inequality amplification technique， through the specific theorem and the proof process of the theorem， a new stability criterion under the time-delay dependent situation is obtained. It more clearly illustrates the stability criterion of delay dependence more clearly. In actual industrial systems， time-delay often affects the normal operation of the system and makes the system in an unstable state. Therefore， the study of time-delay has important practical significance.
Key Words： Singular perturbation system;Time-delay system;Discrete system;Stability;Linear matrix inequality
自1958年，钱学森引进现代控制理论以来，控制理论得到了飞速的发展，在20世纪60年代的航天领域中有广泛的应用。现代控制理论的结果是基于对象的一个数学模型，按照系统的性能要求，根据分析的被控对象的数学模型所设计的控制律，将其应用于被控对象使闭环系统达到所期望的性能。在系统分析中，任何一个物理系统都不可能用一个数学模型精确表示。由于建模时，对系统特性和环节了解不足，比如难以建模的部分、系统环境的变化、元器件的老化、物理参数的老化等变化因素所产生的系统行为的变化，都可能导致模型的不确定性的产生。关于离散系统在综合与分析问题上的研究，从目前国内外学者所研究的结果来看，已经比较完善。但含有不确定性的离散系统稳定性问题的研究并不多见，更需要进一步的补充和改进。现有文献中所解决的线性离散时滞系统的稳定性问题，采用的是Lyapunov泛函方法，但使用这种方法的同时往往需要引入较多的矩阵变量，使得计算量大推理过程繁琐。不同于已经完成的研究，现在用新的Lyapunov函数方法，新的线性矩阵不等式放大技术，得到了对于时滞奇异不确定性控制系统在时滞依赖下的一个新的稳定性判据。
1 系统的稳定性分析
考虑以下离散时滞不确定性控制系统
（1）
初始条件：，其中，，是状态向量，d（t）是系统的滞后时间，A，B是适当维数的实矩阵，A渐近稳定，d（k）为时变时滞可微函数，且
d1≤d（k）≤d2 （2）
其中，d1，d2为已知正整数，是系统初始条件。如果，为反应不确定结构的常数矩阵，是范数有界不确定模型的参数矩阵，满足
≤I （3）
其中，表示系统参数不确定性矩阵，它们具有形式
（4）
离散时滞系统是指一切在时间或者空间上不连续的具有时特性的系统，时滞是时间的滞后的简称，指令发出后，一定时间后系统才做出回应。时滞是指当前状态的变化率不仅依赖于当前的状态，也依赖于过去某时刻或某时间段的状态的特性。存在时滞，一方面使得系统的動态性能变差从而造成系统不稳定，另一方面也可以在某些系统中通过时滞来改善控制效果。离散控制系统在20世纪50年代就引起了注意，系统用数字计算机在模拟、分析、设计、计算时在时间上是离散的，把时间变量考虑成离散变量，研究的系统考虑成离散系统，目前离散系统的分析与控制成为控制理论里的一个重要部分。
引理1 对任意适当维数的向量a，b和矩阵X，N，P，R，其中N和R是对称的，若
≥0 （5）
则
（6）
证明
（7）
证得引理成立。
引理2 如果存在对称阵，且，则有如下LMIs条件：
（1） Z1>0;
（2） ;
（3）;
则，，其中
（8）
线性矩阵不等式自1992年以来被广泛应用于系统与控制问题中的解决过程，随着用于解决优化问题的线性矩阵不等式的内点法的提出，及MATLAB软件中LMI工具箱的提出，应用线性矩阵不等式方法越来越受到重视。
2 时滞依赖的稳定性判据
定理：若存在对称正定阵Q>0，W>0，适当维数的矩阵P，对称阵N和R，满足≥0，对于矩阵有，对于满足条件（2），（3）和（4）所具有的时变时滞可微函数d（k），不确定性F，给定正数，下列LMIs条件是可行的。
Z1>0 （9）
（10）
（11）
（12）
（13）
其中，，，则系统（1）对是渐近稳定的。
证明 定义一个二次L-K泛函，其中
（14）
（15）
其中，Q，W为对称正定矩阵，即，，由线性矩阵不等式条件，，有：
（16）
（17）
这样V（k）就为正定的L-K泛函。
把V（k）沿系统（1）向前差分，有：
（18）
可知，存在适当维数的矩阵P，对称阵N和R，得：
由以上不等式可得：
其中：，
因此，由LMIs条件得：
（19）
于是，，故，所以系统（1）是渐近稳定的。
3 结语
在给定的时滞离散系统下，利用给出的LMIs条件，先定义一个二次L-K泛函，再进行构造，利用线性矩阵不等式，把定义的泛函沿着系统进行差分，通过详细的证明过程，证明出该系统的时滞依赖的稳定性判据，从而确定该不确定性系统是稳定的，证得结论成立。
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