苟志丽,徐 勇,王金环

(河北工业大学理学院,天津 300401)

1 引言

布尔网络(Boolean networks,BNs)是Kauffman于1969年提出的用于复杂非线性生物系统建模的一类逻辑动态系统[1].BNs由一组离散时间变量组成,每个变量只能取0或1,其表示一个基因的活性.基因间高度结构化的相互作用可以通过布尔函数来描述,布尔函数通过特定的逻辑规则确定每个基因的状态.BNs已经被证实是描述、模拟和分析基因调控网络、社会系统和神经网络的重要工具[2–5].

最近,Cheng等人首先提出两个任意维数矩阵相乘的运算,即矩阵的半张量积(semi-tensor product of matrices,STP)[6].STP的显著优点是可以将BNs转换成一个代数系统,从而更好地研究BNs的相关问题.带有外部输入的BNs称为布尔控制网络(Boolean control networks,BCNs).文献[6–7]为研究BCNs中许多经典控制理论问题提供了有力帮助.利用STP方法可以将BCNs转换为标准的离散时间线性系统进行研究[8].同时在BNs和BCNs中应用STP方法也得到许多重要的结果,如稳定性[9–10]、可观测性[11–12]、可控性[13–14]、最优控制[15–16]以及同步问题[17]等.

概率布尔网络(probabilistic Boolean networks,PBNs)是Shmulevich等人于2002年提出的模型[3],该模型既具有BNs的特性,又能处理数据和模型选择中的不确定性.PBNs本质上是一类BNs的集合,其中在任意一个离散时间点,状态以一定的概率按照其中某个BN的规则转化.BCNs描述遗传调控网络的许多特征,是没有随机现象的确定性网络.概率布尔控制网络(probabilistic Boolean control networks,PBCNs)考虑了随机现象,是BCNs的一个非常有意义的扩展.在PBCNs上已经得到了许多有趣的结果,例如弱可达性[18]、可控性[19]、集稳定性[20]和输出跟踪控制问题[21]等.

可控性作……