李建华

方程（组）是刻画现实世界有效的数学模型，作为“方程家族”中的一员，二元一次方程（组）延伸和拓展了一元一次方程所学过的知识，在现实生活中有着广泛的应用，也是中考数学试题中的“常客”。在本章的学习过程中，我们不妨从中考的典型问题出发，抓住“消元”为主线，铭记“转化”是关键，以不变应万变，从而解决问题。接下来，就开始我们的探索之旅吧！

一、二元一次方程组的解法

例1 （2020·广西玉林）解方程组：[x-3y=-2，2x+y=3。]

【分析】观察方程组未知数的特征，不难发现两种解题思路：（1）用代入消元法，注意方程组中第1个方程中未知数x的系数为1，可用含y的代数式表示x，代入第2个方程消去x，得到一个关于未知数y的一元一次方程，从而可解;（2）用加减消元法，在第2个方程的两边同时乘3，与第1个方程相加，可以消去未知数y，得到一个含有未知数x的一元一次方程，从而可解。

解：（解法1）[x-3y=-2，①2x+y=3。      ②]

由①，得x=3y-2，③

把③代入②，得2（3y-2）+y=3，

解这个一元一次方程，得y=1，

把y=1代入③，得x=1，

所以原方程组的解为[x=1，y=1。]

（解法2）[x-3y=-2，①2x+y=3。      ②]

①+②×3，得7x=7，

解得x=1，

把x=1代入①，得y=1，

所以原方程组的解为[x=1，y=1。]

【点评】本题考查了二元一次方程组的常见解法（代入消元法与加减消元法），两种方法都可以达到“消元”的目的，转化为一元一次方程求解。我们在解这类问题时，应仔细观察，注意方程的特征，灵活运用所学方法消去未知数，以达到简化运算的目的。

例2 （2020·江苏南京）已知x、y满足方程组[x+3y=-1，2x+y=3，]则x+y的值为 。

【分析】[x+3y=-1，①2x+y=3。      ②]  ①+②×2得5x+5y=5，两边同除以5即可求得x+y=1。故答案为1。

【点评】本题考查了二元一次方程组的解法。除了利用常规解法，我们还可以根据方程组的特点，利用“整体思想”来解决本题，这也恰是本题的考查目的。

二、用二元一次方程（组）解决问题

例3 （2020·湖北黄石）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两;牛二、羊五，直金十六两。问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子;2头牛、5只羊，值16两银子。问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：

（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？

（2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能。

【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子;2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论;

（2）可设购买a头牛，b只羊，根据买牛和羊用19两银子（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），列出方程，再根据求二元一次方程的整数解即可求解。

解：（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子。

根据题意，得[5x+2y=19，2x+5y=16，]解得[x=3，y=2。]

答：每頭牛值3两银子，每只羊值2两银子。

（2）设购买a头牛，b只羊。

依题意有3a+2b=19，b=[19-3a2]。

因为a、b都是正整数，所以，商人有3种购买方法：①购买1头牛，8只羊;②购买3头牛，5只羊;③购买5头牛，2只羊。

【点评】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出问题中的相等关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键。本题源自数学名著《九章算术》，而在我国其他数学著作中也有很多关于二元一次方程（组）的应用问题，同学们可以查阅相关材料，了解我国古人对数学文化的贡献。

三、一次方程组的综合运用

例4 （2020·江苏扬州）阅读感悟：

有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：

已知实数x、y满足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值。

本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大。其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19。这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”。

解决问题：

（1）已知二元一次方程组[2x+y=7，x+2y=8，]则x-y=，x+y=;

（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？

（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算。已知3*5=15，4*7=28，那么1*1=。

【分析】（1）由[2x+y=7，①x+2y=8，②]利用①-②可得出x-y的值，利用（①+②）÷3可得出x+y的值;

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，可得m+n+p的值，再乘5即可求出结论;

（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，可得出a+b+c的值，即1*1的值。

解：（1）[2x+y=7，①x+2y=8，②]

由①-②，得x-y=-1，

由（①+②）÷3，得x+y=5。

故答案为-1，5。

（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，

根据题意，得[20m+3n+2p=32，①39m+5n+3p=58，②]

由2×①-②，可得m+n+p=6，

∴5m+5n+5p=5×6=30。

答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元。

（3）根据题意，得[3a+5b+c=15，①4a+7b+c=28，②]

由3×①-2×②，得a+b+c=-11，

即1*1=-11。

故答案为-11。

【点评】本题考查了一次方程组的综合应用，解题的关键是运用“整体思想”求解。本题的第（3）问要利用新定义列出方程组，为解决问题增加了难度，但万变不离其宗，同学们只要紧紧抓住问题的本质，选对解法，便能以不变应万变。

（作者单位：江苏省盐城市毓龙路实验学校）