邱春霞

引言:在八年级一次函数内容的学习中,我们经常会遇到求点的坐标的问题。这些题的特点是需要求出的点往往在一条已知直线上。解决这类问题,我们可根据条件求出另一条经过这个点的直线,然后把这条直线与已知直线的解析式联立,解出此点坐标。这种求点的坐标的方法叫“交轨法”。下面举例说明。

例1.如图,在直角坐标系中,直线y=x+4 与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(-2,0).

过点O作OD⊥BC交AB于点D,求点D的坐标。

解:过点A作OA的垂线,交线段OD的延长线于点E。由y=0,x+4=0,得x=-4。由x=0,得y=0+4=4,可得A(-4,0),B(0,4)。∴OA=OB=4,∵OD⊥BC,设垂足为点G,∴∠BOG+∠OBG=90°,∵∠BOG+∠COG=90°,∴∠OBG=∠COG。∵ ∠BOC=∠EAO=90°,OA=OB,∴△EAO≌△COB(ASA),∴AE=CO=2,可得点E坐标为(-4,2)。设直线OE的解析式为y=kx,把点E坐标代入y=kx,可得2=-4k,∴k=-。∴直线EO解析式为y=-x,联立y=x+4 与y=-x,解得x=-,y=。∴点D坐标为

方法点评:点D在已知直线AB上,在此题里我们构造了全等三角形,得到线段AE的长度,再转化为E点的坐标,进而求出直线OE的解析式,再与直线AB解析式联立,从而求出点D坐标,这是数学中典型的“交轨法”。

变式练习:

已知如图,平面直角坐标系中,直线y=-x+4 交坐标轴于A,B两点,点C(0,-1),过点A作直线BC的垂线,垂足为点P,求点P的坐标。

分析:设直线AP交x轴于点D,由条件容易证明△AOD≌△BOC,可得OD=OC=1,可求出直线AD的解析式,再与直线BC的解析式联立解出点P坐标。同学们可以试一下。

例2.如图,直线y=2x+3 交x轴于点A,交y轴于点B,直线AC交y轴于点C,且SAOB=3SAOC

(1)求直线AC的解析式

(2)直线AC上是否存在点P,使得△APB的角平分线的交点在y轴上。

分析:第一问容易求出点C坐标。对于第二问,要正确理解条件“△APB的角平分线的交点在y轴上”。△APB的角平分线肯定在三角形APB的内部,所以首先排除点P在射线CA上,点P只能在第四象限。……