王帅丽

(温州大学数理学院，浙江温州 325035)

本文讨论求解线性方程组：

本文用T A表示A的转置，Ir为r阶的单位矩阵，用R()A和N()A分别表示A的值域和A的零空间．

本文主要讨论奇异线性系统的右预处理GMRES（The Generalized Minimal Residual）方法并做收敛性分析．众知，矩阵乘法不满足交换律，尤其是奇异矩阵乘法逆序律的复杂性，导致左、右预处理系统的系数矩阵其条件数有时候差异很大．从而，对某些问题，若做左预处理效果不理想时，可以考虑做右预处理[1-2]．

由Saad等[3]提出的GMRES方法是解决大型非对称线性系统最流行的方法之一，用GMRES方法可以进行求解非奇异线性系统，也可以求解奇异线性系统[1,4]．

定义1[5]设B∈Rn×n，我们称满足r(Bi)=r(Bi+1)的最小非负整数i为B的指标，记作：

B的Drazin逆记为BD，并满足：

定义2 对于任意矩阵A∈Rn×n，如果R(A)=R(AT)，那么称A为值域对称矩阵．

引理1[6]设A∈Rn×n，那么值域对称矩阵的等价描述如下：1）R(A)=R(AT)，2）N(A)=N(AT)，3）A+A=AA+，4）A+=A#，其中A+是A的Moore-Penrose广义逆，即A+满足：A+AA+=A+，AA+A=A，(AA+)T=AA+，(A+A)T=A+A．

A#是A的群逆，即A#满足：AA#A=A，A#AA#=A#，AA#=A#A．

如果A是值域对称矩阵，则A的指标为1，即index(A)=1，且；但index(A)=1，则A不一定是值域对称矩阵，如：

文[6]中Zhang对线性系统（1）的系数矩阵做了左预处理，而本文对线性系统（1）的系数矩阵做右预处理，使得预处理后的系数矩阵是值域对称的．对于值域对称的奇异线性系统，用GMRES方法进行求解时，具有良好的性能．因此，我们需要找出合适的预处理子使得经过预处理后系统的系数矩阵是值域对称的．除此之外，本文基于恰当分裂，讨论了其收敛性．

1 奇异线性系统的右预处理子

基于线性方程组（1）的系数矩阵A的分裂所诱导的分裂迭代方法，称为定常迭代法．对于系统（1）的系数矩阵，当A是非奇异矩阵时，基于A的分裂：A=M-N，假设M可逆，则其迭代格式为xk+1=M-1Nxk+M-1b，k=0,1,2,…，称M为预处理子；……