涂昆

(扬州大学 数学科学学院， 江苏 扬州 225002)

Banach空间X是自反的当且仅当其闭单位球BX是弱紧的.一致凸Banach空间是自反的，但是自反空间不一定是一致凸的[1].由James[2]和Enflo[3]的结论，可知Banach空间是一致凸当且仅当它是超自反空间.许多学者研究由空间的局部性质刻画超自反性[4-7]，文献[8-9] 引入超弱紧集的概念，并证明一个Banach空间是超自反的当且仅当其闭单位球是超弱紧集.弱紧集和自反空间的关系一样，超弱紧性质被视为超自反空间的局部化，因此，超弱紧集提供了一个研究超自反和一致凸性的新方向.

非紧性测度是抽象概念“紧性”的定量刻画，衡量Banach空间中的一个有界集离“紧”的差距.自1930年Kuratowski[10]引入集合非紧性测度以来，非紧性测度一直受到研究者的重视，并被推广成各种形式，在积分方程理论中得到广泛应用[11-14].本文研究由Grothendieck型刻画生成的非超弱紧测度和赋范半群.

1 基本概念

定义1称集合A⊂X为相对超弱紧集，如果对任意自由超滤子U，那么AU是相对弱紧集，相对超弱紧集的弱闭包是相对弱紧集.

容易看到，相对超弱紧集是有界的.Cheng等[9]证明相对超弱紧集在连续线性映射下的像是相对超弱紧集，并且如果A，B是相对超弱紧集，那么A∪B，A×B，A+B是相对超弱紧集.另外，相对超弱紧集A的凸包CO(A)也被证明是相对超弱紧集.

Cheng等[9]得到超弱紧集的Grothendieck型刻画定理，非空有界集A⊂X是相对超弱紧集当且仅当对任意正数ε>0，存在相对超弱紧集S⊂X，使得A⊂S+εBX.由此刻画定理，定义函数σ:β(X)→[0,∞)为

σ(A)=inf{t>0:A⊂S+tBX,S为相对超弱紧},∀A∈β(X).

容易证明σ具有如下7个性质：