李峻屹

(陕西警官职业学院 信息技术系， 陕西 西安 710021)

0 引言

偏微分方程在物理化学、金融、工程等领域都有非常广泛的应用.但是针对实际应用问题，方程往往不存在解析解.因此对偏微分方程进行数值求解，传统的数值计算方法如有限差分方法[1,2]、有限体积方法[3,4]、有限元方法等[5,6]，这类方法严格依赖于网格的属性.但在许多情况下生成网格非常耗时，特别是对于复杂区域.为了解决这一困难，学者们提出了各种无网格方法.如无网格局部Petrov-Galerkin，光滑粒子流体动力学方法[7]等，但是都伴随着耗时间、计算量大等棘手问题.

随着可用数据和计算资源的爆炸性增长，机器学习和数据分析的最新进展已经在不同的科学学科中产生了革命性的结果，包括图像识别、自然语言处理、认知科学和基因组学.然而，在分析复杂的物理、生物或工程系统的过程中，数据采集的成本往往过高，不可避免地面临着在部分信息下得出结论和做出决策的挑战.在这种小数据区域中，绝大多数最先进的机器学习技术(例如，深度/卷积/递归神经网络)缺乏鲁棒性，无法提供任何收敛保证.训练一个深度学习算法，从几个潜在的非常高维的输入和输出数据对中准确地识别非线性映射的任务看起来是不可行的.

为了使这一任务变得可处理，在许多与物理和生物系统建模有关的案例中，存在着大量的先验知识，可以将这种结构化的先验信息编码到学习算法中，即能……