文 吴 强

根据不同的计算方法表示同一个平面图形的面积，计算结果始终相等。利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法。在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等发现面积相等的图形。无论这些图形的形状如何，但只要面积相等，我们就可以利用这种相等的关系进行一些转化，从而解决问题。

本文从2019-2020学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷中的一道填空题开始，与同学们一起用等积法来处理几个矩形中的问题。

图1

【分析】从这道题的答题情况看，大部分同学填的是平行四边形或者菱形。平行四边形比较明显，很多同学不假思索，轻松掉入出题者的陷阱。填空题答案需要更精确，那就要考虑“两把完全一样的直尺”这个条件有什么用。

上面的问题从哪来呢？它的原型是苏科版数学教材八年级下册第93页第15题：

如图2，由两个等宽的矩形叠合而得到的四边形ABCD是菱形吗？证明你的结论。

图2

图3

【分析】等宽的矩形有什么用？如何证明一个四边形是菱形？根据题意，利用矩形两组对边分别平行很容易证明四边形ABCD是平行四边形。如果再能够证明一组邻边相等或者对角线互相垂直，那么就可以得到菱形。如图3，过点A作AR⊥BC于点R，AS⊥CD于S。因为两个矩形等宽，所以AR=AS。由S四边形ABCD=AR·BC，S四边形ABCD=AS·CD，得AR·BC=AS·CD，得BC=CD，因此，平行四边形ABCD是菱形。

【点评】此题主要考查了菱形的判定，解题的关键是利用等积法证明一组邻边相等，从而证得该平行四边形是菱形。……