小学数学毕业命题的思维导向
2021-06-03范艳华
范艳华
【摘要】小学数学毕业测试是对学生六年数学学习的一个综合性测试，作为毕业测试卷的命题人员，既要关注学生的基础知识、基本技能的掌握情况，也要关注学生对于基本数学思想的习得情况。同时，一份好的数学毕业试卷，应该具有明确的思维导向，给小学数学教师平时的教学提供关于学生思维培养的目标指引。笔者从教研员的视角，选取了小学数学毕业试题中一些较为典型的题例，给出有关小学数学毕业命题中培养学生数学思维方面的导向的一些建议。
【关键词】毕业测试 推理 变与不变 动态思维 导向
小学数学毕业测试是对学生六年数学学习的一个综合性测试，通过测试可以让学生评价自身在六年的数学学习中是否能独立、综合地运用所学数学知识深入分析和解决数学问题的能力。通过检测可以讓教师看到作为教者在自身的六年教学中给学生留下了什么，是否真正促进了学生思维的发展。因此，作为毕业测试卷的命题人员，既要关注学生的基础知识、基本技能的掌握情况，也要关注学生对于基本数学思想的习得情况。一份好的数学毕业试卷，应该具有明确的思维导向，给小学数学教师平时的教学提供关于学生思维培养的目标指引。笔者从教研员的视角，选取了近几年所在区域苏教版小学数学毕业试题中一些较为典型的综合性较强的题例，分析其在培养学生数学思维方面的导向作用。
一、由此及彼，学会推理
推理一般分为演绎推理与合情推理，小学数学教学中常用的推理是合情推理，演绎推理可以根据学生的实际思维水平进行适当的渗透，因为当学生升入初中以后，数学学习将以演绎推理为主。在数学学习中，无论是合情推理还是演绎推理，都是培养学生数学思维的重要方式。在小学数学毕业试卷中可以适当设计一些简单的推理题，让学生调用已有的知识和经验进行推理，但是对学生推理过程的表述则不作要求。
例1：（如图1）从一张等腰梯形纸的一个角上，沿梯形的一条高折去一个三角形。已知梯形高3cm，下底长10cm，阴影部分的面积是（ ）cm2，原梯形的面积是（ ）cm2。
例1中，一个等腰梯形的底角是45
这道题给学生带来的思维导向是：要抓住题中已知的关键信息，分析其与所求问题之间的关系。特别是根据题中等腰梯形底角为45°推理出阴影部分是个等腰直角三角形。这一步是推理出阴影部分面积和原梯形面积的关键思维点。同时，这道题给教师平时教学带来的思维导向是：教师可以经常在数学问题中设置一些间接条件，让学生学会“顺藤摸瓜”、由此及彼的简单推理，从而提高学生的逻辑思维能力。
二、紧扣本质，在“变”中寻求“不变”
“变与不变”是一种重要的数学思想。数学问题情境中已知信息可以顺着一定的线索进行变化，如果只看到题中“变化”的量而找不到“不变”的量，常常会找不到解决问题的突破口。因此抓住数学信息中的不变量进行分析，是解决数学问题常用的思考方法。
例2：沙漏也叫做沙钟，是古时候一种计量时间的装置。可以根据所计时间的长短设定不同的计时沙漏。现将一沙漏倒置，过了几分钟发现漏下的占未漏下的[18]，又过了13分钟后，漏下的占未漏下的[23]，请问：这是一个（ ）分钟沙漏。
例2中，已知信息是沙漏在不同的时间漏下的占未漏下量的分率，以及涉及时间的“又过了13分钟”这个信息。而就这些信息表面很难推理出这是一个几分钟沙漏，必须找到这两个分率与“13分钟”的关系。通过分析，可以知道：虽然沙子不停地往下漏，但是“沙漏中上下两部分沙子的总量”是不变的，这就找到了解决问题的突破口。由第一时段“漏下的占未漏下的[18]”可推理出，漏下的占沙子总量的[19]，由“又过了13分钟后，漏下的占未漏下的[23]”可推理出，13分钟后，漏下的占沙子总量的[25]。这样就可以通过两个时段漏下沙子的差占总数的“[25] - [19]=[1345]”，得出这是一个45分钟的沙漏。
例2的命题者根据沙漏的特点，即容器上下两部分加起来的沙子总数是不变的，再结合分数实际应用设计了这道题。这道题给平时的教学带来的思维导向是：教师要善于设计变化的数学问题情境，并且在“变化”中蕴设一个“不变”的量，让学生在变化中寻找出“不变”的量，分析和建立数量间的相等关系，找到解决问题的“突破口”和”“巧妙路径”，从而促进学生对于“变与不变”数学思想的应用。
三、冲破定式，打开新的思维路径
小学生学习数学，有时由于知识应用的单一性，常常会形成一些思维定式。即当条件的呈现方式发生变化时，不会变通思考，在固有的思维圈子里不知所从。如关于如何求圆的面积，学生固有的思维是：要求圆的面积，必须知道圆的半径，然后用S=πr2求出圆的面积。然而对于已知r2的题，学生则不会变通，钻在固有的思维里走不出来。
例3：（如图2）已知正方形的面积是16平方厘米，求圆的面积。因为16这个平方数学生会用凑数的方法进行开方，得到圆的半径是4厘米，所以圆的面积可以求出。但是，如果换成正方形的面积是8平方厘米，那多数学生就会觉得无所适从，因为没法得到圆的半径。在这里学生往往不会直接根据r2求出圆的面积来。
例4：（如图3）已知圆的面积是64平方厘米，求圆的面积。学生如果没有打破思维定式，即如果已知半径的平方（即以圆的半径为边长构成的正方形的面积），就能直接求出圆的面积，那么这道题更加让学生无所适从。如果学生打破了这个思维定式，那就会想办法去构造以半径为边长的正方形，就会想到把这个正方形以它的内切圆圆心为中心点平分为四个小正方形（如图4），每个正方形的面积为：64÷4=16（平方厘米），即r2=16，从而得到圆的面积为16π平方厘米。
上面的例3、例4中，之所以学生走不出固有的思维定式，要求圆的面积，必须要知道圆的半径，究其原因其实也是教师在平时教学这部分内容时一直是按照这个方法引导的，并且在所涉及这部分内容的练习中也没有出现过已知r2求圆的面积的变式题。
因此，这道题给教师平时教学带来的思维导向是：要善于进行变式，防止学生形成僵化的思维定式。同时教师在教学中要善于打通知识的界限，让学生学会用联系的眼光分析数学问题。比如例3、例4两题中，就是引导学生将正方形和圆联系起来，找出图形之间的内在联系，从而灵活地解决数学问题。
四、渗透动态思维，在“动”中寻找规律
在小学六年数学学习中，除了图形的变换初步知识中关于图形的轴对称、旋转平移的内容，其他一般都是对静止状态下的数学问题的思维，很少涉及对动态数学问题的思维。但是学生一旦升入初中，在平面几何与函数的领域，特别是在一些综合性的数学问题里，经常要用到动态思维。因此，在小学里适当渗透一些运用动态思维是非常有必要的，一方面为中学学习做好准备，另一方面也让学生尝试在动中寻找规律，发展学生的思维能力。
例5：（如图5）直线l1和l2互相平行，三角形ABC的面积是6cm2。（1）如果A点沿直线l1向右移动到A1处，C点沿直线l2向右移动到C1处，三角形A1BC1的面积是9cm2，这时线段BC1∶线段BC=（ ）∶（ ）;
（2）如果A点继续沿直线l1向右移动到A2处，C点沿直线l2向右移动到C2处，这时线段BC2∶线段BC=4∶1，那么三角形A2BC2的面积是多少平方厘米？
例5这道题之所以用动点的形式呈现，主要是引导学生通过用动态的视角和思维来观察、思考题目，找出题目中所蕴含的规律：因为平行线之间的距离处处相等，所以像这样无论点A和点B向右或者向左移动到哪里，在这个移动的过程中AC点的对应点与B点所形成的三角形的高始终是不变的，移动后所形成的三角形与原三角形的面积比就是它们的底边之比。由于问题呈现方式的改变，看似是一个涉及“动点”问题，但是对于小学六年级的学生而言却完全可以“够得着”。重要的是这样的题目让学生的视域得到了拓展，也使其思维得到了提升。
综上所述，小学数学毕业测试虽然不是选拔性的考试，但是一份好的小学数学毕业试卷，可以让学生对自己在分析问题时的思维方式、习得的数学思想有一个提炼、应用的过程。同时，对于教师而言，一份好的数学毕业试卷，通过分析试题内容以及学生的答卷情况，定将会对自己之前的数学教学进行深入的反思，也会给未来的数学教学带来更加合理的思維导向。
（作者单位：江苏省无锡市锡山区教师发展中心）
