包开花, 孙爱慧, 夏令远

（1. 内蒙古民族大学 数理学院, 内蒙古 通辽 028000; 2. 吉林师范大学 数学学院, 吉林 四平 136000;3. 东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024）

0 引 言

非交换几何框架下的非交换留数是定义在闭流形经典拟微分算子代数上的迹, 但它不是通常算子迹意义下的延拓. 低维流形上的非交换留数是由Adler[1]发现的, 而高维流形的非交换留数是由Wodzicki[2]和Guillemin[3]同时发现的. Connes[4]敏锐地发现Dirac算子逆平方的非交换留数与Einstein-Hilbert作用成比例, 现称此结论为Kastler-Kalau-Walze定理(以下简称KKW定理). Kastler[5],Kalau等[6]分别独立地证明了此定理. 这开创了非交换几何框架下的非交换留数在重力作用方面的理论和应用, 为重力作用给出了一种算子理论解释, 赋予了KKW定理非平凡的研究意义.

Wodzicki的结论是: 当底流形为非紧致或带边流形时, 经典拟微分算子代数上不存在迹形式. 在带边流形的情况下, 需要考虑不同的代数结构. Fedosov等[7]将经典的非交换留数在Boutet de Monvel代数上进行推广, 得到带边流形上的非交换留数. Wang[8]将Connes的框架推广到带边流形情形, 得到了带边流形的共形不变量. 进一步, Wang[8-10]结合Ponge[11]的工作, 用带边流形上的非交换留数定义了与无挠Dirac算子相关的带边流形上的低维体积, 并得到了这种情况下的KKW类型定理, 对带边流形上的重力作用给出一种算子理论解释. 对于带挠率的Dirac算子不能直接利用Fedosov,Ponge等给出的方法得到紧致带边流形的低维体积. Ackermann等[12]在偶数维Spin流形上证明了带挠率的Dirac算子的Lichnerowicz公式. 近期, Pfäffle等[13]在配有保度量联络的紧……