徐洪焱，汪 楠，刘 林

(1.上饶师范学院数学与计算机科学学院；2.江西医学高等专科学校医学影像系,江西 上饶 334001)

1 引言及主要结果

1966年,Gross[1]讨论了Fermat型函数方程f(z)2+g(z)2=1,得到了其整函数解具有形式f(z)=cosa(z),g(z)=sina(z),其中a(z)为整函数。随着Nevanl-inna理论的不断发展与深入,借助于Nevanlinna理论与Nevanlinna理论的差分模拟结果[2-4],国内外复分析学者对复域Fermat型差分方程、微差分方程等投入了大量的关注,并取得了许多有意义且重要的结果[5-9]。

2009至2013年,刘恺,杨连中,曹廷彬,曹红哲等[6-8]讨论了差分方程f(z+c)2+f(z)2=1与f(z+c)2+f′(z)2=1,指出:后者具有形如f(z)=sin(z±Bi)的有限级超越整函数解,其中B为常数,c=2kπ或c=(2k+1)π,k为整数。2016年,刘恺与杨连中在文[9]中进一步讨论了方程

f(z)2+2αf(z)f′(z)+f′(z)2=1

(1.1)

f(z)2+2αf(z)f(z+c)+f(z+c)2=1

(1.2)

得到

定理A[9]若α2≠0，1,则方程(1.1)不存在超越亚纯解。

定理B[9]若α2≠0，1,则方程(1.2)的有限级超越整函数解的增长级必为1。

2019年,Han-Lv在文[5]中讨论了广义Fermat型微分方程

f(z)2+f′(z)2=eαz+β

(1.3)

得到

定理C[5]方程(1.3)的亚纯解必为整函数解,且要么α=0,要么方程(1.3)具有形如f(z)=eβ/2sin(z+b)或者f(z)=de(αz+β)/2。

受定理A-C的启发,有问题：若方程(1.1)中一阶导数换为二阶导数,以及右边的常数1换成更一般的函数eg(z),方程解的情形如何呢？本文将针对此问题,进一步讨论Fermat型微分、微差分方程解的存在与形式。文章将采用Nevanlinna理论的基本符号[10-13],除此之外,为方便叙述，此处及以下,若α∈,令

本文的结果如下:

定理1.1若α2≠0，1为复常数,g(z)是关于z的多项式。若方程

f(z)2+2αf(z)f″(z)+f″(z)2=eg(z)

(1.4)

存在有限级超越整函数解,则g(z)须满足g(z)=az+b,这里a,b为常数。

下例说明当g(z)=az+b时,方程(1.1)解的存在性。

定理1.2若α2≠0，1,c为复常数,g(z)是关于z的多项式。若方程

f(z+c)2+2αf(z+c)f″(z)+f″(z)2=eg(z)

(15)

存在有限级超越整函数解f(z),则g(z)须为形如g(z)=az+b的多项式,这里a,b为常数。进一步，f(z)具有以下情形之一：