黄 海， 汪 楠， 杨海波

（1. 南昌航空大学 数学与信息科学学院，南昌 330063； 2. 江西医学高等专科学校，江西 上饶 334000）

引言

拓扑空间的Cech上同调群，在代数几何中具有广泛的应用，往往通过计算Cech上同调群，则可以利用同构关系，从而计算出某些复杂的同调群[1-2]。例如：对于单纯复形K和其基础拓扑空间X，单纯复形K的奇异上同调群H∗(K,Z)同构于X上关于常数层的Cech上同调群

而为了描述这一抽象定义，很多著名的数学家都通过不同的方式对Cech上同调给出了他们的见解。如陈志华[6]和Bredon[7]通过定义单复形的方式定义Cech上同调、Griffiths P A，Harris[8]通过层和局部有限开覆盖定义Cech上同调。然而，很多情况下Cech上同调都是从几何方向着手进行定义的，考虑到Cech上同调在同调理论中的重要性，本文试着通过从代数方向出发，给出Cech上同调代数观点下的表示形式。而单纯形方法是同调代数中研究同调理论的一种重要手段，基于此，本文主要以Cech上同调和单纯复形为基础，给出Cech上同调的单纯形表示。

首先，回顾几个本文中需要应用到的主要定义，详见文献[8]、文献[9]：

定义1[8]给定流形M上的一个层F，设是M上的一个局部有限开覆盖，定义：

定义上边缘算子：

则有上链复形：

定义2[9]给定范畴∆，其对象为有限有序集，态射为非降单调函数。如果T是任给的范畴，定义单纯对象A为一个从 ∆到T的反变函子，即A:∆op→T，记A([n])为An；同样的，定义上单纯对象A为一个从∆到T的协变函子，即A:∆→T，记A([n])为An。

并在范畴∆中，对于任意的n和i=0,…,n，定义面映射εi:[n−1]→[n]和退化映射ηi:[n+1]→[n]为：

定义3[9]对一个交换……