宋悦 李军奇 梁九卿

(山西大学, 理论物理研究所, 太原 030006)

基于与各自的级联环境相互耦合的三个独立的量子比特系统, 详细考察了强、弱耦合体系下腔-腔耦合强度W和腔衰减率G1对负性纠缠度、Bell非定域性和纠缠目击的影响.结果表明: Bell非定域性和纠缠目击都可以出现猝死和猝生现象; G1 = 0时, 随着W的增加, 三者在历经短时阻尼振荡后, 均会随时间达到各自的稳定值, 且该稳定值随着W的增大而增大.同时, 三者在弱耦合体系的量值或存活时间都优于强耦合体系.此外, 非零G1对量子关联有着很大的负面效应.于是, 为了更好地抑制量子关联损失, 进一步分析了弱测量和测量反转操作的有效调控作用, 得到一些有趣的结果.

1 引 言

量子纠缠和Bell非定域性是两种不同类型的量子关联, 两者既有联系又有区别, 均作为量子力学的奇妙特性而备受关注[1,2].纠缠是一种至关重要的量子资源, 在量子隐形传态[3]、量子计量[4]等诸多方面扮演着关键角色.目前, 已成功制备了各种纠缠态[5], 并提出了多种纠缠度量或判据, 如负性纠缠度、纠缠目击等等[6,7].Bell非定域性可通过Bell不等式来判定: 如果一个量子态违背了Bell不等式, 则称该态具有Bell非定域性或真正的量子非定域性, 该特性不能通过任何经典局域隐变量理论来描述.研究表明, 具有Bell非定域性的量子态均为纠缠态, 反之则不一定成立.所以, Bell非定域性是比纠缠更强的一种非定域形式, 且可作为一种纠缠的判据.目前, 已存在多种Bell型的不等式, 如CHSH不等式[8]、Svetlichny不等式[9]等,并已有很多Bell型不等式的实验工作[10,11].

环境无处不在, 它所导致的量子退相干现象会限制量子关联的实际应用.所以, 研究开放系统中的量子纠缠和Bell非定域性的动力学问题具有重要意义[12,13].文献[14]发现纠缠可以在有限时间内突然消失, 该现象被称作纠缠猝死.紧接着, 文献[15]报道了纠缠猝生现象.纠缠猝死和猝生都已被实验所证实[16].纠缠的这些特殊行为点燃了人们的浓厚研究热情[17,18].虽然时过多年, 但至今它们依然引人注目[19,20].类似于纠缠, Bell非定域性也存在猝死和猝生现象[21,22], 且Bell非定域性猝死时间更早于纠缠猝死.近期, 文献[21]从理论和实验角度分析了振幅阻尼信道下的两体纠缠、Bell非定域性和量子导引的动力学行为, 发现它们都可出现猝死现象.此外, 一些工作还探讨了纠缠目击的动力学行为[23,24].纠缠目击是深受青睐的一种纠缠判据[7,24], 是实验上探测纠缠的主要途径之一.

在实际情况中, 量子系统并非只与单一环境有作用, 它还会受到级联环境或多层环境的影响, 例如量子点中的电子自旋可同时感受到原子核和声子环境[25].于是, 与多层环境相关的研究成果不断涌现出来[26−29].例如, 基于由两个衰减腔组成的级联环境, 文献[27]和文献[28]分别讨论了两比特量子失协和熵不确定性关系的动力学行为.近期,两层环境中的量子加速问题也得到详细讨论[29].我们注意到, 绝大多数与级联环境相关的研究工作仅限定于单体或双体系统, 而三体以上的量子动力学问题鲜有讨论.所以, 本文将基于分别与各自的级联环境相互耦合的三量子比特模型, 详细探讨系统各参数对纠缠和Bell非定域性的影响, 并进一步考察弱测量及其反转操作的调控作用.弱测量及其反转操作是近些年广受关注的一项调控技术[30].该技术或方法可使量子态概率性地恢复到初态, 从而达到保护量子态的目的, 现已被成功用于抑制量子退相干[31]、保护量子关联[32]以及提高隐形传态保真度[33]等许多方面, 其有效性已在光学系统[30]和超导线路[34]中得到了实验证实.

2 模型及动力学方程

2.1 理论模型

本文考虑三个全同并相互独立的量子比特A,B,C, 其中每个量子比特都被置于一个单模腔内, 该腔又与另外一个空腔相耦合.系统总的哈密顿量为

(1)式中Hi为第i个量子比特与其级联环境的哈密顿量, 具有如下形式[35]:

式中, 泡利算符ω0和σ+(σ−)分别为量子比特i的跃迁频率和升(降)算符, 而和分别代表频率为ω1的腔Ri1以及频率为ω2的腔Ri2的产生(湮灭)算符.gi表示量子比特i与腔Ri1间的耦合强度,Ωi是两单模腔Ri1和Ri2间的耦合强度.为了简便起见, 令ω0=ω1=ω2=ω.

在计入两个级联腔的耗散后, “第i个量子比特+级联腔”的主方程为[35]

这里,Γi1(Γi2) 为腔Ri1(Ri2) 的光子衰减率.在gi>Γi1/4 和条件下[35], 第i个量子比特与腔Ri1组成的系统将分别处于强、弱耦合体系.

初始时刻, 假设量子比特i处于激发态|1, 两个耦合腔Ri1和Ri2都处于基态|0, 则总系统的初始态可写为在单激子近似下,t时刻总系统的动力学方程可表示为

式 中P(t)=ℓ−1{F(s)/G(s)}(t) , 其 中ℓ−1{·}(t) 为拉普拉斯逆变换,

结合方程(5)和文献[28]中的方法, 可直接构建出三量子比特 A,B,C 的动力学方程.为此, 选取如下最大纠缠的GHZ态作为 A,B,C 的初始态:

经过简单计算, 可得三量子比特 A,B,C 在基矢下的约化密度矩阵ρABC(t) 的对角矩阵元:

(4) 加强复合材料结构成型工艺的优化研究。目前，应用于轨道车辆承载结构的复合材料中，CFRP是比较受关注的一类材料，但其制造成本高、生产周期长，制约了该材料的推广应用。如果能将成型工艺和材料研究结合起来，在不降低产品性能的前提下，优化出更适合轨道车辆结构的低成本、高效率的成型工艺，在自动铺带、集成自动生产等方面实现更新换代，满足批量生产的需要，那么低成本、自动化的生产工艺必将推动复合材料在轨道交通行业的应用。

和非零非对角矩阵元

为了得到(7)式, 设定了gi=g,Ωi=Ω, 腔耗散Γi1=Γ和Γi2=Γ1.

2.2 量子关联度量

三体纠缠可采用负性纠缠度N3来量化, 其定义为[6]

这里,NI-JK(I=A,B,C;JK=AB,AC,BC) 是两体负性纠缠度, 其定义是其中,是对ρABC的子系统I作偏转置后的密度矩阵的负本征值[6].结合(7)式和(8)式, 可得:

为了量化Bell非定域性, 选择MABK不等式作为探测工具.对三量子比特来说, MABK算符为[9]

这里,MK是第K个量子比特的测量算符, 且MK和表示对第K个量子比特作测量时的两种不同的测量方向.方程(6)所给的量子态为初态时,可选取[9]:

式中,I2是 2×2 维的单位矩阵,σx,y是泡利矩阵.结合(7)式、(10)式和(11)式, 可求得MABK算符B在量子态ρABC(t) 中的期望值:

其中, 角度θBC=θB+θC.当时, 量子系统将具有Bell非定域性.

根据(7)式和(13)式, 可得到 E Ws 的期望值:

若−EWs>0 , 意味着存在实验上可直观探测的三体纠缠; 但−EWs0 时, 无法判定量子态是否有纠缠.

2.3 弱测量及测量反转操作下的量子关联动力学

弱测量(WM)和测量反转(WMR)技术不仅可以有效保护纠缠[30], 还可提高量子费舍尔信息[37].对单量子比特来说, WM和WMR操作可分别表示为[30]:

本文所考虑的三个量子比特都被以同样的方式施加了WM和WMR操作.具体来说, 在与环境相互作用之前, 对每一个量子比特都执行WM操作Mwk.之后, 量子比特系统被置于环境中.在t时刻, 再对每一个量子比特执行WMR操作Mrev.为了简单起见, 设这三个量子比特的WM强度mi=m(0m<1) 和WMR强度ki=k(0k<1).这样, 经过WM及WMR操作后, 三量子比特的约化密度矩阵的非零元素为:

3 量子关联的动力学

接下来来分析三个独立量子比特的量子关联动力学行为.图1描述了给定理想空腔Ri2(即Γ1=0 )而改变两级联腔的耦合强度Ω时, 负性纠缠度N3、Bell函数和纠缠目击−EWs 在强耦合体系(g=0.5Γ, 见图1(a)—图1(c))和弱耦合体系(g=0.2Γ, 见图1(d)—图1(f))下随无量纲时间Γt的变化曲线.图1(a)(或图1(d))表明, 当Ω=0 时,和−EWs 都会在短时间内出现猝死现象, 但N3仅单调衰减至零.这里的猝死是指, 在探测纠缠方面Bell不等式和−EWs 已失效.相比而言,−EWs 能在更大的有限范围内探测纠缠.对比图1(a)和图1(d)可发现, 量子关联的量值或存活时间在弱耦合体系要优于强耦合体系.随着Ω的增加, 出现了一些有趣的行为(如图1所示): 1)N3在两种耦合体系下都会在一些阻尼震荡后达到一稳定值随着Ω的增大而提升, 且弱耦合体系的明显高于强耦合体系.尤其当Ω=2Γ时,N3能获得非常大的.另外,N3在强耦合体系的震荡行为更明显.2) 在强耦合体系(见图1(b)),−EWs 在经历一段死亡时间后, 也可达到一稳定值, 而Bell函数要经过两段时间的猝死后, 方可最终达到一较小的稳定值.这暗含着,在表征纠缠方面−EWs 要更优于MABK不等式.特别 在Γt>4 后,−EWs 一直能探测纠缠.但在弱耦合体系(见图1(e)),和−EWs 均呈现了俘获现象, 整个过程它们都能表征纠缠.此时, 纠缠始终为真正的非定域性量子关联.3)当Ω=2Γ时, 在两种耦合体系下和−EWs 都能获得很高的量值, 不会出现猝死现象.

图1 耦合强度 Ω 取不同值时, 负性纠缠度 N 3 、Bell非定域性 和纠缠目击 − EWs 在强耦合体系 g =0.5Γ ((a)—(c))和弱耦合体系 g =0.2Γ ((d)—(f))下随无量纲时间 Γ t 的变化曲线.其中,Γ1=0Fig.1.Time evolution of Negativity N 3 , Bell non-locality and entanglement witnesses − EWs as the function of dimensionless time Γ t for the different values of coupling strength Ω in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a)–(c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((d)–(f)) with Γ 1=0.

图2 耦合强度 Ω 和弱测量强度m取不同值时, 负性纠缠度 N 3 在强耦合体系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合体系g=0.2Γ((b)和(d))下随无量纲时间 Γ t 的变化曲线.其中,Γ1=0Fig.2.Negativity N 3 versus dimensionless time Γ t for the different values of coupling strength Ω and the weak measurement strength min the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((b) and (d)) with Γ 1=0.

图3 Bell函数 在强耦合体系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合体系 g =0.2Γ ((b)和(d))下随无量纲时间 Γ t 的变化曲线.其他参数取值与图2相同Fig.3.The change of Bell function as a function of Γ t in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g =0.2Γ ((b) and (d)).The values of other parameters are the same as those in Fig.2.

下面来分析引入量子测量操作后的量子关联动力学行为.图2—图4分别是N3,和−EWs 的变化图形.图2—图4中的所有(a)图和(c)图均为强耦合体系 (g=0.5Γ), 所有(b)图和(d)图都是弱耦合体系(g=0.2Γ).从图2可以看出, 耦合强度Ω越大越有利于纠缠的存在, 这与图1相符合.一旦固定了Ω, 可通过增大m来提高纠缠.同样, 图3也说明,m越大越有利于Bell非定域性的存在: 更大的 m 可更好地延长的存活时间或使得它变成一稳定值(如图3(a)和图3(c)).这间接说明, 测量操作能让MABK不等式更好地表征纠缠.还可以看出, 同样 m 调控下的的稳定值在弱耦合体系总好于强耦合体系, 如图3(a)和图3(b)所示.− EWs 在图4的变化行为也反映了测量操作的积极作用.但图4(a)却出现了一个有趣现象, 即 Ω =0 和 m =0.6 时, − EWs 可分段周期性猝生和猝死, 猝生后可在一段时间内取值恒定.事实上, 在强耦合体系, 当 Ω 较小而 m 较大时, 都存在此类现象.值得一提的是, 根据图1得到 − EWs 探测纠缠的能力要好于MABK不等式.然而, 对比图3(a)和图4(a)却能发现, m 值较大时, MABK不等式能比 − EWs 更好地探测纠缠.不过, 随着 Ω 的增大, 在强耦合体系依然可以得到 − EWs 要优于MABK不等式的结论, 该结论此时与 m 的取值无关.在弱耦合体系(如图3(b)和图4(b)所示), − EWs 在探测纠缠方面始终好于或等同于, 测量操作仅起到提高量值或延长量子关联存活时间的作用.

图5为存在腔耗散 Γ1=0.25Γ 、执行和未执行弱测量操作时量子关联随时间的演化行为, 参数Ω=Γ.其中, 图5(a)和图5(c)为强耦合体系( g =0.5Γ ), 而图5(b)和图5(d)为弱耦合体系( g =0.2Γ ).对比图1(b)和图5(a)可以发现, 一旦级联空腔 Ri2具有了耗散, N3, Bell非定域性和−EWs 将不再出现关联俘获现象.具体来说, N3经过阻尼震荡后随时间逐渐衰减, Bell非定域性会在短时间内直接猝死, 而 − EWs 在猝死后还会出现短暂的复苏现象.同理, 图1(e)和图5(b)也说明, 非零耗散 Γ1破坏了量子关联俘获, 致使它们都以阻尼震荡方式衰减.图5(c)和图5(d)则说明, 较大的 m 会使得量子关联得到很大提高, 且不再发生猝死行为.

4 结 论

图4 纠缠目击 − EWs 在强 ((a), (c))、弱((b), (d))耦合体系下的动力学行为.其他参数取值与图2相同Fig.4.Dynamics of entanglement witnesses − EWs in the strong ((a), (b)) and the weak ((c), (d)) coupling regimes.The values of other parameters are the same as those in Fig.2(a).

图5 量子关联在强耦合体系 g =0.5Γ ((a)和(c))和弱耦合体系 g =0.2Γ ((b)和(d))下的变化曲线.其中, (a)和(b)无弱测量操作, (c)和(d)有弱测量操作.参数 Ω =Γ 和Γ1=0.25ΓFig.5.Change curves of quantum correlation in the strong coupling regime g =0.5Γ ((a) and (c)) and the weak coupling regime g=0.2Γ((b) and (d)), where (a) and (b) are the cases without measurement, while (c) and (d) are the cases with measurement.The parameters Ω and Γ 1 are set to Γ and 0 .25Γ , respectively.

本文考虑初始被制备于最大纠缠GHZ态的三个全同量子比特系统, 详细讨论了强、弱耦合体系下三比特纠缠和Bell非定域性这两种量子关联的动力学行为及其调控问题.其中, 每个量子比特都被置于各自的一个单模腔内, 该腔又与另外一个空腔相级联, 这两个级联腔共同构成了一个级联环境.利用负性纠缠度和纠缠目击(−EWs )来描述纠缠.同时, 借助MABK不等式来量化Bell非定域性.研究表明, 纠缠和Bell非定域性强烈依赖于腔-腔耦合强度Ω和空腔的耗散率Γ1.具体来说,Γ1=0 且Ω接近零时, 除了负性纠缠度外, Bell非定域性和纠缠目击都能发生猝死现象.通过增大Ω, 量子关联的量值能被大幅提高, 甚至可以出现量子俘获现象.但非零Γ1在很大程度上削弱了量子关联, 甚至破坏了这种俘获现象.给定Ω后, 量子弱测量和测量反转技术可以有效提高量子关联或延长量子关联的存活时间.所以, 弱测量及其反转操作的引入, 可以更好地保护量子关联.另外,我们发现, 当未施加量子弱测量和测量反转时,−EWs 在强、弱耦合体系下探测纠缠的能力都好于MABK不等式.但在施加了量子测量操作后, 这一结论不总是成立.结果显示, 在强耦合体系中, 当Ω较小且弱测量强度m较大时, MABK不等式探测纠缠的能力可以好于−EWs , 但这一现象不会在弱耦合体系发生.当然, 随着Ω的增大, 即便在强耦合体系且m很大时, 又会得到−EWs 探测纠缠的能力超过MABK不等式的结论.此外还能知道, 量子关联在弱耦合体系的量值或存活时间始终要好于强耦合体系.