李 西， 罗加福， 冯民富

(1.四川大学数学学院, 成都 610064； 2.成都体育学院， 成都 610041)

1 引 言

粘性不可压缩Navier-Stokes方程(NS方程)的混合有限元离散通常会出现两个难点:需满足经典的inf-sup条件和需要克服由高雷诺数(Reynolds number,Re)导致的数值震荡.

为了解决上述两个问题, 大量专家学者提出了不同的稳定化方法.比如，为了克服对流-扩散方程中对流占优时所引起的数值震荡,Brooks和Hughes[1]提出了Streamline Upwind Petrov-Galerkin方法(SUPG),并将其推广到不可压缩非定常NS方程.随后, Hughes 和Franca等[2]发现SUPG法不仅可以保持格式的相容性,不损失解的逼近性,还能增强离散解的稳定性——可利用SUPG 法避免inf-sup条件从而得到了速度和压力的等阶有限元插值.这种用来稳定离散压力的Petrov-Galerkin变分又被称为Pressure Stabilized Petrov-Galerkin(PSPG). 虽然SUPG/PSPG既可以做到避免inf-sup条件,又可以得到对高Re依然有效的先验误差估计，但需在经典的Galerkin变分格式中引入最小二乘项,导致稳定项中含有非物理耦合项,从而在用高阶元近似时稳定化格式中需要计算二阶导数[3-4].随后,Becker和Braack提出的Local Projection Stabilization方法(LPS)[5]很好地解决了上述不足.与SUPG相比, LPS中添加的稳定项中不含有速度-压力的耦合项,并且不需要计算二阶导数，也可以避免inf-sup条件和克服对流占优.正因如此,LPS从提出到现在得到了充分地发展.从文献[5]中首次采用LPS来处理Stokes问题之后，LPS被推广到了运输方程[6],Oseen方程的低阶离散[7],NS方程[8-9]以及其它一些相关工作[10-12].

在处理由高Re带来的数值震荡时,Burman和Fernandez等[13]采用了Bertoluzza在文献[14]中证明了的离散commutator性质,得到的误差估计随着流体Re的增大依然有效,即该数值格式……