刘晓雯，郭彩玲

(唐山学院，河北省智能装备数字化设计及过程仿真重点实验室，河北 唐山 063000)

苹果振动采摘的工作原理是借助振动发生器在苹果树的树干、主枝上施加周期性的载荷，通过各级分枝、果柄传递给苹果使其按一定的方式振动，当振动产生的惯性力超过苹果与果柄的分离力时，苹果在与果枝或果柄最弱的连接点脱离，从而完成采摘[1-3]。由此可见，苹果能否在适当的载荷形式与大小的作用下，达到最佳振动状态，主要取决于苹果振动时产生的惯性力，而惯性力的主要影响因素是加速度，因此研究加速度响应是苹果树动力学研究的重点。

本研究建立了果树的动力学模型和有限元模型，并采用有限单元法，对苹果树进行模态和谐响应分析，确定了苹果振动采摘时施加给不同直径范围的树枝干的最佳激振频率。

1 建立果树模型

本研究采用锚固形式为固定约束方式。由于振动时苹果树树叶产生的黏性阻尼非常复杂[4]，故将系统阻尼等效为Rayleigh阻尼。主要分析无叶苹果树枝干的动力学特性。

在河北省迁安市太平乡尚庄苹果采摘基地(118.8°E，39.9°N)，随机选择自然生长状态下树龄约5 a的自由纺锤形宫藤富士苹果树3棵，树高3.4～3.8 m，主干高75～85 cm，株距2.5 m，行距5 m，行间生草，土壤为尚庄苹果采摘基地的有机土壤，种植期间灌水条件良好，春季修剪。考虑果树被周围其他果树遮挡，影响点云质量，采用Trimble TX8三维激光扫描仪分别对3棵目标果树在以树干为圆心，半径约4 m的区域实施五站式扫描。考虑到点云数据的配准问题，采用标直径为100 mm靶球作为配准基准[5-7]。2018年5月至2019年5月期间，对3棵目标苹果树冠层进行了8次数据采集，扫描实景如图1所示。

图1 扫描实景Fig. 1 Real apple vibration picking practice

苹果树枝干分支较多，需将苹果树枝干结构简化成三部分: 主干、一级分支枝条和二级分支枝条，如图2所示。其中，一级分支枝条由主干分生，如图中Y1，Y2，Y3…Y15；二级分支枝条由一级分枝枝条分生，如图中由一级分支枝条Y1分生出的Y1a,Y1b,Y1c,Y1d,Y1e,Y1f,Y1g和Y1h枝条。

图2 苹果树枝干结构划分图Fig. 2 Structure partition map of apple tree branches and trunk

考虑苹果多生长在二级枝条上，而二级枝条振动时对一级枝条的振动性能影响较小[8-9]，故在扫描所得的苹果树模型基础上除去二级分支及其上苹果以提高仿真计算的效率。选取3个目标果树中点云重建后枝干恢复最好的模型进行分析，简化后的苹果树模型如图3所示。

图3 苹果树模型Fig. 3 Modeling of apple tree

1.1 建立基于梁理论的枝干动力学模型

为了分析苹果树枝条和苹果树整体之间的关系，现建立基于梁理论的枝干动力学模型。

由于苹果树为细长状，故采用欧拉-伯努利梁理论[10]。假设苹果树的主干是变截面梁，截面半径为:

(1)

式中：rz表示苹果树主干高度为zmm处的截面半径，mm；r0为苹果树主干位于地面上的底部半径即rmax，mm；H为苹果树主干总高，mm；λ为截面收缩率；β为常数，此处取1。

假设苹果树小枝条和大枝条为等截面梁。采用分段等效的方法[11-12]，将苹果树主干简化为变截面悬臂梁，枝条为等截面小梁，树叶简化为附加质量和阻尼。苹果树主干变截面梁模型和枝条等截面梁模型结构简图如图4所示。

图4 主干和枝条的结构简图Fig. 4 Structural sketch of trunk structure and branches

图4中，主干和枝条均简化为左端固定支撑的悬臂梁，且分段截取的长度均为l。固定端为零点，轴线方向的坐标为x。梁的右端分别为一个集中质量为m1的变截面梁和集中质量为m2的等截面梁，梁的横截面积分别为A1(x)和A2(x)，弯曲刚度分别为EI1(x)和EI2(x)，梁的挠度即垂直于中心轴线的位移分别为w1(x)和w2(x)。

1.2 建立坐标系并定义自由度

定义苹果树干位于地面上的底部以及枝条根部为坐标系原点，Y轴为树干底部以及枝条沿其生长方向的切向。

找到一个Y轴所在的平面Q，Q平面内所有枝干上的点到该平面的距离加权平方和最小[13-14]，即满足：

(2)

式中：xi,j表示第i条骨架线上第j个骨架点，其对应的半径为ri,j；d(xi,j,Π)表示点到面的距离函数；Ly表示Y轴对应的直线；Π为待求的平面。

令平面Π为世界坐标系的XY平面，由此确定X轴，界坐标系的Z轴用右手准则确定。建立苹果树梁单元坐标系并定义单元自由度：沿X和Z轴的移动以及X、Y和Z轴的转动。

2 建立苹果树枝干有限元模型

由于基于梁理论的枝干动力学模型简化太多，故需在其基础上建立更精确的有限元模型进行动力学分析[15-16]。

2.1 建立有限元模型

建立苹果树有限元模型时，作如下的简化假设：定义苹果树主干位于地面上的底部与地面是固定连接；定义主干与枝条的连接处是固定连接且共用一个节点。

将扫描得到的苹果树模型导入到有限元分析软件Ansys Workbench中。

2.2 定义材料属性

在尚庄采摘基地任取10个苹果树枝条样本进行测量，取平均密度：ρ=0.976×103kg/m3；经基频实测，得到泊松比μ=0.326～0.349，由于泊松比对频率影响不大，故取μ=0.33。

由于枝干采用悬臂梁的固定方式，根据欧拉-伯努利梁理论，动态弹性模量[17-19]：

(3)

式中：mμ为单位长度质量，kg/m；f1为第1阶共振频率，Hz；l为悬臂梁长度，m；I为截面的转动惯量，kg·m2。

计算得弹性模量E=6.38×107Pa。

2.3 选取单元网格划分

初选8节点的六面体单元SOLID185，但苹果树模型因其形状的复杂性无法划分出六面体单元，单元出现退化的六面体单元即四面体单元，故选择10节点的带中间节点的四面体单元SOLID187，从而保证较高的计算精度。

网格划分借助Smart Size自由网格划分工具。

2.4 约 束

采用固定约束方式。

2.5 仿真分析

2.5.1 模态分析

考虑到枝干在高频振动下易损伤[20-21]，故选取低频为主要影响频段，模态分析只取苹果树动力学特性中前12 阶进行研究，如表1所示。

表1 苹果树前12阶固有频率与共振频率Table 1 The first 12 natural frequencies and resonance frequencies of apple trees Hz

由表1中仿真得到的固有频率可知：第1阶和第2阶、第3阶和第4阶、第5阶和第6阶、第7阶和第8阶、第9阶和第10阶、第11阶和第12阶固有频率比较接近。这是由于苹果树结构具有一定的对称性，导致模态成对出现且每对类似，故前12 阶中每对相似振型选取一个，即第1，3，5，7，9和11阶振型，如图5所示。

图5 固有频率及振型Fig. 5 Natural frequencies and modes

2.5.2 谐相应分析

建立苹果的受力分析模型，如图6所示。

图6 苹果受力分析模型Fig. 6 Force analysis model of an apple

由静力平衡条件：

F1+mg-F2=ma

(4)

式中：F1为作用于苹果的激振力，N；F2为果柄和苹果之间的约束力，F2=1.5 N[22]；m为苹果的平均质量。2019年9月，在图1所示目标树上任意摘10个苹果，称质量取平均值，m=248 g。a为苹果脱离果柄后下落的加速度，a=2g[22]，其中g为重力加速度。故：

F1=ma+F2-mg=0.248×9.8×2+1.5-0.248×9.8=3.93 N。

激振载荷：

F=Asin(ωθ+Φ)

(5)

式中：Φ=0；F为激振载荷，N。

由于载荷施加在树干上，需要较大的激振载荷，效率不高且对苹果树会有损伤，故正弦载荷施加在大枝条X方向上距离连接点20 mm处。

如图3所示，对经扫描并提取点云处理后得到的苹果树模型各根主要枝条进行编号。经现场测量，各根枝条的平均直径如表2所示。

表2 枝条平均直径 Table 2 Average branch diameters

正弦激振力作用下，各根枝条的位移和加速度响应如图7所示。

图7 枝条位移、加速度响应曲线Fig. 7 Harmonic response curves of branch displacement and acceleration

由图7可得：

1)激振力频率为2.2 Hz时，枝条位移较大，即摆动幅值较大；激振力频率为3.5 ～5.1 Hz时加速度较大。由此可见，激振率频率较高时，更有利于振动动能的传输。

2)相同激振力作用下，施加不同的振动频率，每个分枝的最大位移和加速度不同，该结论与模态仿真分析的结论一致。

3)各直径枝条最大加速度对应的激振频率即仿真所得的最佳激振力频率，如表3所示。

表3 试验与仿真下枝条激振力频率对应表Table 3 Corresponding table of excitation force frequency of branches from tests and simulations

由表3中仿真得到的最佳激振力频率可知，编号为1，2，3，5的枝条, 直径范围为Φ5～11 mm，最佳振动频率为2.08 Hz；表3中编号为4，6，7，8，9的枝条，直径范围为Φ12～15 mm，最佳振动频率为4.48 Hz。

3 共振频率试验

2019年10月17日至2019年10月30日，在河北省迁安市太平乡尚庄苹果采摘基地，随机选取10棵树龄约5 a的自由纺锤形宫藤富士苹果树作为试验对象，苹果树高3.5～3.8 m，主干高75～85 cm，苹果树平均冠幅0.8～1.3 m，株距2.5 m，行距5 m。实验仪器：加速度传感器、AVANT数据采集与信号分析仪、由得伟马刀具改装的无级振动发生器，频率可由PWM 控制器无极调节。实验内容：每棵目标苹果树上随机选取9条侧枝(一级分支)，9条侧枝分别与谐响应仿真分析中编号1～9的9条一级分支枝条直径接近，且侧枝上长有苹果。选取在X方向距离连接点20 mm处设置一个测试点。对每条侧枝进行 3 次重复试验取平均值。最终得到各直径枝条FFT变换后的加速度响应曲线如图8所示。为直观对比试验得到的共振频率与仿真得到的固有频率间的对应关系，将图8曲线波峰对应的频率列入表1中。由于仿真和试验得到的模态频率在模态阶次上难以形成对应，故表1中模态阶次含义不同。

图8 试验得到的加速度响应曲线Fig. 8 Acceleration response curves obtained from tests

由表1可知，试验得出的共振频率与仿真得出的固有频率在数值上较接近，第1和2阶次、3和4阶次、7和8阶次、9和10阶次、11和12阶次固有频率分别对应1个共振频率值。分析其原因主要有两点：

1)重建的苹果树模型中枝干恢复不完整，因此固有频率和共振频率接近但不相等。

2)相邻阶次固有频率数值相差较小时，试验中共振频率互相干扰，使其中一个共振频率丢失。

将图8中各直径枝条最大加速度对应的激振频率列入表3最佳激振力频率(试验值)中，并与仿真结果对比可知：通过试验所得的不同直径枝条的最佳激振力频率与仿真结果相对应，且数值很接近，最大偏差3.7%。试验验证了仿真模型中除去二级枝条及其上苹果的简化处理的合理性，以及应用文中所述的仿真方法得到的最佳振动频率的准确性。

选取表3中枝条激振力频率偏差较大的枝条，编号为1，6，8和9，分别对比其通过试验和仿真得到的加速度响应曲线，如图9所示。

图9 仿真与试验下加速度响应曲线对比Fig. 9 Comparisons of acceleration response curves between simulations and tests

经比较发现，虽然仿真与试验中得到的最佳激振力频率很相近，但加速度响应曲线存在一定差异，分析差异来源，主要有以下4点：

1)扫描重建的模型由于受光照、风力等干扰因素存在一定的误差；

2)模型阻尼等效为Rayleigh阻尼，与枝条真实振动时的阻尼具有一定偏差；

3)建立苹果树有限元模型时进行了近似性的假设；

4)苹果树枝条上分支结点的存在，影响枝条的材料特性。

4 结 论

利用有限元方法，对苹果树枝干进行了建模及仿真分析。研究表明，在激振力作用下，枝条的振动具有一定的不相关性，且随着激振率频率的增加，振动动能的传输更有效。通过模态分析，得到苹果树前12阶的固有频率为1.92～5.35 Hz；谐响应分析中，把枝条归纳成Φ5～11 mm和Φ12～15 mm两种直径范围，并得到了两种直径范围枝条的最佳激振力频率分别为2.08 和4.48 Hz。经现场试验，验证了仿真结果的合理性。研究结果为苹果的振动采摘和采摘设备的研发提供了理论基础，具有一定的指导意义。