陶 亮，刘海鹏，王 蒙

(昆明理工大学 信息工程与自动化学院，云南 昆明 650500)

0 引言

传统的信号采样受限于奈奎斯特定理[1-2]，采样速率低下，急需一种新的信号采样方法，在这种情况下压缩感知[3]被提了出来。

压缩感知中最重要的环节就是信号重构，它的作用就是在观测值较少的情况下精确、快速地恢复原信号。目前最直接的重构方法就是在L0范数下求解最优化表达式[4-5]。于是，为了提高信号的重构速率，MOHIMSNI G H等人在2009年提出了基于平滑L0范数的重建。随后在此算法上，研究者们相继提出了基于SL0的TSL0(Thresholded SL0)[6]算法、基于SL0的NSL0(Newton SL0)算法[7]和L0AM(L0 Norm Approximation)算法[8]。在以上所提算法中，NSL0算法重构得到的图像是最优的[9]，但NSL0算法重构质量依然不足。于是本文在NSL0算法的基础上提出了ACNSL0算法，该算法采用反余弦函数来近似估计L0范数，结合修正牛顿法[10-12]和阻尼牛顿法，获得的一种更快速、高效的信号重建算法，经过仿真，得出该算法在重构误差和峰值信噪比[13-14]方面有较大改善。

1 NSL0算法

NSL0算法的主要思想是采用双曲正切函数族来取代SL0所采用的高斯函数族，用修正牛顿法取代最速下降法，而且相对于高斯函数，双曲正切函数更陡峭，所以会更加逼近L0范数，重构的效果理论上更好。双曲正切函数的数学表达式如下：

式中，si为稀疏系数s的分量，σ 为趋近于0的递减参数。在NSL0算法中，σ 的取值尤其关键，由图1可以看出，当σ 较大时，函数值Fσ(si)变得非常平滑，局部最大值也变得极少，可以避免受到局部极值点的影响；当σ非常小时，Fσ与L0范数非常接近，但是函数曲线很不平滑。……