任 丽,吕 文

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

自PARDOUX和PENG[1]首次引入非线性倒向随机微分方程(简称BSDE)后,BSDE理论方面得到迅猛发展[2-3]。受LASRY和LIONS[4]的启发,BUCKDAHN等[5]引入了平均场BSDE理论并成功应用于金融经济、随机博弈以及控制等各个领域, 参见文献[6-8]。

2009年, PENG和YANG[9]引入一种超前BSDE, 其中将混合测度与BSDE 结合,建立了BSDEs 与超前BSDEs之间的对偶关系,为以后研究随机微分方程最优控制的最大值原理提供了基础。在此基础上, LIU和 REN[10]研究了具有以下形式的由时间变化的Lévy噪声驱动的BSDE:

dYt=-f(t,λt,Yt,Zt,Yt+ut,Yt+utdt+

Zt(x)μ(dt,dx),t∈[0,T],

(1)

其中:μ是由在[0,T]×{0}上的条件布朗测度B和在[0,T]×0上的中心双随机泊松测度混合测度,系数f不仅包含解的当前值, 而且包含解的未来值。

此外, LU和REN[11]研究了如下形式的马尔科夫链驱动的平均场BSDE,证明了在Lipschitz 条件下平均场BSDE解的存在唯一性。

(2)

其中:(Y′,Z′)是(Y,Z)的复制。

受以上工作启发, 本文研究具有以下形式的时变的 Lévy噪声驱动的BSDE:

(3)

本文讨论方程(3)解的存在唯一性定理和比较定理。

首先,给出本文中用到的符号和基本假设。第2小节将给出时变的 Lévy 噪声驱动的平均场BSDE方程解的存在唯一性定理, 最后给出方程解的一个比较定理。

1 预备知识和基本假设

设(Ω,F,P)是一个完备概率空间, 对给定的T>0, 记X=([0,T]×{0})∪([0,T]×0),其中0={0}。设λ=(λB,λH)是一个二维随机过程, 分量λi,i=B,H满足:

在X上定义随机测度Λ：

ΛB(Δ∩[0,T]×{0})+

ΛH(Δ∩[0,T]×R0),

(4)

其中q是确定的0上Borel集的σ-有限测度,满足

定义1B是在[0,T]×{0} Borel集上的符号测度, 满足

(b2)B(Δ1)和B(Δ2)关于FΛ条件独立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合,H是[0,T]×{0}中Borel集上的符号随机测度。

(b4)H(Δ1)和H(Δ2)关于FΛ条件独立, 其中Δ1和Δ2是互斥集合。我们假设:

(b5)B和H关于FΛ条件独立。