解春雷, 杜润梅

(长春工业大学 数学与统计学院, 长春 130012)

1 引言与主要结果

退化抛物方程的控制问题在物理学、 生物学和工程实践等领域应用广泛. 目前, 关于退化抛物方程控制问题的研究已取得很多成果[1-10]. 例如: 文献[1-3]研究了非线性退化抛物方程分布式控制问题的能控性; 文献[4]研究了线性退化抛物方程边界控制问题在第一类边界条件下的能控性; 文献[5-6]研究了非线性退化抛物方程边界控制问题在第一类边界条件下的能控性; 文献[7-8]研究了线性退化抛物方程边界控制问题在退化点处为第二类边界条件, 非退化点处为第一类边界条件下的能控性. 本文采用文献[6]的方法, 利用Kakutani不动点定理证明一类一维半线性退化抛物方程在边界控制函数作用下的近似能控性.

考虑如下系统:

其中QT=Ω×(0,T), 0<α<1,h∈L2(0,T)是控制函数,χ是[T1,T2](0

(i)g(·,·,0)∈L2(QT);

(ii)g(x,t,u)在u=0处可微;

(iii) 对任意(x,t)∈QT,u,v∈, 存在与x,t,u,v无关的正数M, 使得

|g(x,t,u)-g(x,t,v)|≤M|u-v|.

本文证明系统(1)-(3)的近似能控性.

定理1对任意ε>0,ud∈L2(0,1), 存在控制函数h, 使得问题(1)-(3)的解u在时刻T处可近似达到ud, 即

‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

(4)

2 线性问题解的估计

考虑线性方程

ut-(xαux)x+c(x,t)u=f(x,t), (x,t)∈QT

(5)

在初边值条件(2),(3)下解的估计, 其中c∈L∞(QT),f∈L2(QT). 定义空间

其范数分别为

通过对方程(5)做能量估计, 可得如下定理.

1) 存在与α,T,‖c‖L∞(QT)相关的C1>0, 使得

3) 如果h=0,u0∈L2(0,1), 则对任意0<σ0, 使得

(8)

3 线性问题解的收敛性

类似文献[2]中推论2.1、 推论2.2和推论2.4, 可得如下引理.

令k→∞, 可得结论.

证毕.

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