李翠英, 吴 睿, 程 毅

(1. 渤海大学 数学科学学院, 辽宁 锦州 121013； 2. 长春财经学院 数学教研部, 长春 130122)

0 引 言

目前, 关于迭代微分方程的边值、 周期问题研究已得到广泛关注. Petukhov[1]研究了如下二阶迭代微分方程周期边值问题：

得到了参数λ,α在不同范围内方程解的存在唯一性; Kaufmann[2]考虑一类二阶迭代微分方程的边值问题, 用Schauder不动点定理证明了该问题解的存在性; 文献[3-6]用不同的不动点理论(Krasnoselskii不动点定理、 Schauder不动点定理等)证明了若干类迭代微分方程周期解或拟周期解的存在唯一性. 分数阶微分方程在数学、 化学、 物理和工程等许多领域应用广泛, 但关于分数阶迭代微分方程边值、 周期问题的研究成果目前报道较少. 当非线性函数满足Lipschitz条件时, Ibrahim等[7]将整数阶的一些结果推广到分数阶迭代微分方程中. 但目前已有结果均为处理一维的迭代微分系统, 对于向量迭代方程的研究尚未见文献报道. 本文在非线性函数满足单边Lipschitz条件时, 证明一类非线性Caputo型分数阶迭代向量微分系统周期解的存在唯一性.

本文令T∶=[0,b],n为n维Euclid空间, 〈·,·〉表示n中的内积, ‖·‖表示n空间的范数. 设C(T,n)表示从T到n全体连续函数组成的空间, 其范数定义为关于分数阶微积分的基础知识可参见文献[8-9].

1 主要结果

考虑如下分数阶迭代向量微分方程：

(1)

其中:

A:n→n是一个线性算子;f:T×n×n→n是一个连续函数.

下面给出假设条件：

(H1) 设A:n→n是一个有界、 线性的正定算子, 即对任意的z∈n, 存在常数c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2;

(H2) 设f:T×n×n→n是一个连续函数, 且：

(i) 对任意的u,v∈n, 存在一个非负函数使得∀t∈[0,b], ‖f(t,u,v)‖≤λ(t)；……