牟文杰, 范江华

(广西师范大学 数学与统计学院, 广西 桂林 541006)

0 引 言

考虑如下张量变分不等式问题TVIP(A,q,K): 求向量x*∈K, 使得

〈A(x*)m-1+q,y-x*〉≥0, ∀y∈K,

其中A为m阶n维实张量,q∈n,K是n中的非空闭凸子集. 将TVIP(A,q,K)的解集记为STVIP(A,q,K). 当时, TVIP(A,q,K)转化为张量互补问题TCP(A,q).

张量互补问题[1]是一类非线性互补问题, 简记为TCP(A,q): 求向量x*∈n, 使得

x*≥0,A(x*)m-1+q≥0, (x*)T(A(x*)m-1+q)=0.

目前, 关于TCP(A,q)解集基本性质和迭代算法的研究已取得了许多结果: 对于对称正定张量和共正张量等结构张量, Che等[2]给出了对应张量互补问题解的存在性定理; Song等[3]讨论了半正张量的性质, 并研究了对应张量互补问题解的唯一性; Wang等[4]讨论了ER张量的性质, 并研究了对应张量互补问题解集的非空紧性; Yu等[5]研究了张量互补问题解的稳定性; Luo等[6]讨论了Z张量的一些性质, 并研究了Z张量对应互补问题的稀疏解; Liu等[7]研究了一些特殊结构张量互补问题的全局唯一性和可解性, 并在此基础上给出了相应的非光滑牛顿法.

张量变分不等式在经济均衡和博弈论中应用广泛, 如Nash均衡问题在一定条件下可转化为张量变分不等式问题. 解集的基本性质及迭代算法是张量变分不等式问题研究的重点, 解的存在性研究是张量变分不等式问题理论研究的最基本问题. Song等[1]将一类结构矩阵推广到高阶张量, 提出了一类特殊的张量变分不等式问题; Wang等[8]利用例外族方法, 在0∈K及A在K上正定的条件下, 研究了张量变分不等式问题解集的非空紧性, 在0∈K及A在K上严格正定的条件下, 研究了张量变分不等式问题解的唯一性, 并证明了一类多人非合作对策可以重新表示为一类张量变分不等式问题；……