宋元凤, 杨 柳, 李武明

(1. 通化师范学院 数学学院, 吉林 通化 134002; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

1 引言与预备知识

矩阵表示在量子理论、 机器人科学等领域应用广泛. Cartan[1]给出了Clifford代数矩阵表示的八周期理论; Farebrother等[2]给出了四元数代数所有的48个矩阵表示； Song等[3]构造了2×2的反对称分块矩阵, 并证明这种矩阵集与Cl0,n同构, 从而给出了实Clifford代数Cl0,n的忠实矩阵表示; Lee等[4]构造了8×8的实矩阵集, 并证明这种矩阵集与Cl0,3同构; Budinich[5]证明了Clifford代数的复表示可简化为实代数或四元数代数.

设{e1,e2,…,ep+q}为p+q的一个基, 实Clifford代数Clp,q上的Clifford乘积定义为

(1)

则Clp,q为2p+q维代数[6-7]. 当p+q=3时,Clp,q可视为由基

{1,e1,e2,e12,e3,e13,e23,e123}

(2)

生成的线性空间,Clp,q有Cl0,3,Cl1,2,Cl2,1,Cl3,0四种形式, 由于Cl1,2≃Cl3,0, 因此只需讨论实Clifford代数Cl0,3,Cl2,1,Cl3,0的实矩阵表示及其单位群的实矩阵表示.

本文所涉及的Clp,q统一约定p+q=3, 规定In表示n级单位矩阵,GLn(F)表示数域F上的n级一般线性群, Im(φ)表示映射φ的像集, Cen(Clp,q)表示Clp,q的中心子代数, Mat(n,F)表示数域F上的n级矩阵群或n级矩阵代数, H表示四元数代数.

2 Clp,q单位群的实矩阵表示

首先考虑Clp,q的可逆元生成群(单位群)的实矩阵表示.

定义1[8]设G是任意群,φ:G→GLn(F)是群同态, 则称φ的像集Im(φ)是G的一个矩阵表示. 若φ为单的群同态, 则称该矩阵表示为忠实的.

定义2[8]一个代数同态φ:A→Mat(n,F)即为A的一个F表示, Im(φ)称为A的一个F-矩阵表示. 若φ为单的代数同态, 则称该矩阵表示为忠实的.

引理1[9]实Clifford代数Clp,q的单位群为

若将Clp,q视为实数域上的2p+q维线性空间, 设{α1,α2,…,αn}为Clp,q的一个基, 则对任意的a∈Clp,q, 通过Clp,q左乘a(a∈Clp,q)可得线性变换

(6)

令

(7)

设A是n×n矩阵, 其中(i,j)的元素为aij. 令

τ：Clp,q→Mat(n,),aA,a∈Clp,q,

(8)

其中A是Clp,q的左乘线性变换la在一个确定基下所对应……