魏佩玺, 刘建成

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言及主要结果

若Riemann流形(Mn,g)上存在光滑向量场X及光滑函数λ:Mn→, 满足孤立子方程

(1)

则称Mn为近Ricci孤立子, 记为(Mn,g,X,λ). 其中Ric表示Mn的Ricci张量,LXg表示度量g沿X方向的Lie导数,X称为孤立子场,λ称为孤立子函数. 当λ>0(λ=0或λ<0)时, 称近Ricci孤立子为收缩的(稳定的或扩张的), 否则称近Ricci孤立子是不定的. 特别地, 如果λ是常数, 则称Mn是Ricci孤立子.

若孤立子场X可表示为一个光滑函数f:Mn→的梯度(即X=f), 则称Mn是梯度近Ricci孤立子, 记为(Mn,g,f,λ), 此时式(1)可变为

Ric+2f=λg,

此外, 当X=0或f为常数时, 称近Ricci孤立子是平凡的, 否则称为非平凡的. 近Ricci孤立子是经典孤立子和Einstein度量的推广. 易见当近Ricci孤立子的维数n≥3且孤立子场X是Killing向量场时, 近Ricci孤立子是Einstein的, 也是Ricci孤立子. 因为此时由孤立子方程(1)及Schur引理易知λ是常数.

孤立子的研究热点主要是其平凡性、 分类结果及曲率估计. 关于Ricci孤立子刚性问题的研究目前已取得很多成果. 例如： 文献[1]证明了一般完备Ricci孤立子关于无迹Riemann曲率张量的不等式, 并得到等号成立当且仅当其等距于n或 Sn的有限商; 文献[2]研究了近Ricci孤立子, 并给出其刚性结果. 近Ricci孤立子的刚性性质与Ricci孤立子有很大差别; 文献[3]证明了具有非平凡共形向量场的紧致近Ricci孤立子等距于欧氏球面 Sn; 文献[4]在满足一定积分条件下证明了共形平坦的近Ricci孤立子等距于 Sn; 文献[5]通过计算Ricci张量的X-Laplace算子, 得到了近Ricci孤立子的一些积分公式, 并用这些公式证明了非平凡的紧致定向近Ricci孤立子等距于 Sn的几个等价条件.

本文基于文献[1]中一般完备Ricci孤立子的刚性性质, 通过计算近Ricci孤立子无迹曲率张量模长平方的X-Laplace算子, 在逐点或积……