施玉飞, 张 毅

(1. 苏州科技大学 数学科学学院, 江苏 苏州 215009； 2. 苏州科技大学 土木工程学院, 江苏 苏州 215011)

时标上的微积分理论[1]统一了连续分析和离散分析, 可揭示连续与离散现象的内在联系和本质区别. Bohner[2]研究了时标上的变分问题, 给出了时标Euler-Lagrange方程； Bartosiewicz等[3]建立了时标上的Noether定理. 目前, 关于Noether定理及其应用的研究已取得许多成果[4-7], 但关于时标上Noether理论的研究文献报道较少. Cai等[8]研究了时标上非保守非完整系统的Noether对称性； 文献[9-11]分别建立了时标上Hamilton系统、 Birkhoff系统、 时滞系统的Noether定理. 本文进一步讨论事件空间中时标上Hamilton系统的Noether对称性与守恒量, 给出事件空间中时标Hamilton系统的Noether对称性定理.

1 时标微积分及基本性质

设 T是一时标, 定义向前跳跃算子σ: T→T为σ(t)=inf{s|s>t,s∈T}, 向后跳跃算子ρ: T→T为ρ(t)=sup{s|s

假设函数f: T→, 令t∈Tk, 如果给定任一ε>0, 存在δ>0, 使得对所有的s∈U,U=(t-δ,t+δ)∩T, 均有

|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,

(1)

对于时标微积分, 下列运算公式[12]成立:

其中函数β(t): [r,s]∩T→单调递增且和表示定义在变换后的时标上.

引理1(时标上Dubois-Reymond引理)[12]令g∈Crd,g: [a,b]→n, 则对所有的且η(a)=η(b)=0,gT(t)ηΔ(t)Δt=0均成立当且仅当g(t)=c, 其中常数c∈n.

2 事件空间中时标Hamilton正则方程

(8)

则事件空间中时标Hamilton原理为

(9)

且满足关系

(10)

端点条件为

δxα|τ=a=δxα|τ=b=0,α=1,2,…,n+1,

(11)

其中：a,b∈T且a

引进事件空间中时标上的广义动量和Hamilton函数:

(12)

则式(9)可表示为

(13)

对Hamilton作用量

(14)

求变分, 得

(15)

由式(3)和式(11), 有

因此

(17)

将式(12)第二个等式的两边对yα求偏导数, 得

(18)

将方程(18)代入式(17), 得

(19)

由Dubois-Reymond引理, 得

(20)

对式(20)两边求Δ-导数, 得

(21)

联立方程(18)和(21), 得

(22)

此即为事件空间中时标Hamilton正则方程.

3 主要结果

文献[3-4]给出了证明Noether对称性定理的不同方法. 本文采用时间重新参数化方法建……