尚淑彦, 韩晓玲

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

1 引言与预备知识

分数阶微分方程广泛应用于自然科学、 工程技术和控制系统等领域, 在电磁学、 力学、 医学、 扩散、 控制、 信息处理等应用中, 分数阶微分方程比整数阶微分方程更符合实情, 能更准确地描述一些实际问题. 目前, 关于分数阶微分方程的研究已取得了丰富的成果[1-9]. 例如： 文献[1]研究了分数阶积分边值问题

(1)

受上述文献启发, 本文用不动点指数理论, 在与相应的线性算子第一特征值相关的条件下, 给出积分边值问题(1)至少存在一个正解的结果, 与文献[2]相比, 本文所用方法不同, 而且对非线性项的条件最优, 最后给出一个实例说明本文结果的适用性.

定义1[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Caputo分数阶导数定义为

其中[α]表示实数α的整数部分.

定义2[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Riemann-Liouville分数积分定义为

定义3[3]函数f: [0,∞)→的α(α>0)阶Riemann-Liouville分数导数定义为

引理1[3]设n如上述定义, 则下列关系成立:

引理2[3]令α>θ>0且n-1<α

本文定义

引理3[2]当Q1<1,P2<1且(1-Q1)(1-P2)>P1Q2时, 有

mη(s)g(s)≤H(t,s)≤Mg(s), (t,s)∈[0,1]×[0,1],

其中：

Br={u∈C[0,1]|‖u‖0),

P={u∈C[0,1]|u(t)≥0,t∈[0,1]},

则P是C[0,1]上的正锥, 取

引理4A:P1→P1是全连续算子.

证明: 由引理3可知

所以A:P1→P1. 下面证明算子A连续. 设un,u∈P1, ‖un-u‖→0(n→∞), 则有

于是有

设S⊂P1是有界集, 即∀u∈S, ∃M>0, 使得‖u‖≤M, 因为f在[0,1]×[-M,M]上一致有界, 所以存在一个正常数L>0, 使得|f(s,u(s))|≤L. 因此

下证算子A等度连续.

从而A等度连续, 由Arzela-Ascoli定理知A:P1→P1是全连续算子.

定义算子

(2)

易知T是线性全连续算子.

引理5[4]设T:C[0,1]→C[0,1]是全连续算子且T(P1)⊂P1. 如果存在ψ∈C[0,1](-P1)和一个常数c>0, 使得cTψ≥ψ, 则谱半径r(T)≠0, 且T的第一特征值λ1=(r(T))-1所对应的特征函数φ1为正.

引理6假设T由式(2)定义, 则算子T的谱半径r(T)≠0, 且T的第一个特征值λ1所对应的特征函数为正……