伏彤彤, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

正径向解的存在性与唯一性, 其中N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+和f: [R0,∞)××+→连续. 在系数函数K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), 非线性项f(r,u,η)满足一些适当的不等式条件且关于η满足Nagumo条件时, 证明该问题正径向解的存在性与唯一性.

where Ω={x∈N: |x|>R0}, N≥3, R0>0, K: [R0,∞)→+ and f: [R0,∞)××+→ are continuous. When the coefficient function K(r)=O(1/r2(N-1))(r→+∞), under the condition that the nonlinear term f(r,u,η) satisfies some appropriate inequality conditions and Nagumo condition on η, we prove the existence and uniqueness of the positive radial solution of the problem.

0 引 言

考虑如下非线性项中含梯度项的椭圆边值问题:

(1)

正径向解的存在性与唯一性, 其中:Ω={x∈N: |x|>R0},N≥3,R0>0;n为∂Ω上的单位外法向量;α,β是常数;K:J→+为系数函数,J=[R0,∞),+=[0,+∞);f:J××+→为非线性函数. 本文假设:

(H1)α,β≥0,α+β>0;

(H2)K∈C(J,+), 且当r→+∞时,K(r)=O(1/r2(N-1)), 即∃K0, 使得

(H3)f∈C(J××+,), 且对∀M>0,f(r,u,η)在J×[-M,M]×[0,M]上一致连续; 对∀(u,η)∈×+,f(·,u,η)在J上有界.

椭圆边值问题在数学物理和工程等领域应用广泛, 可描述万有引力、 流体力学及人口动态等问题. 近年来, 关于非线性项不含梯度项的椭圆边值问题正径向解的存在性研究得到广泛关注, 并获得了一些好结果: 文献[1-5]讨论了Dirichlet边界条件的特殊情形; 文献[6-7]应用上下解方法和先验估计法获得了含Robin边界条件的椭圆边值问题正径向解的存在性结果; 文献[8]在允许非线性项f超线性增长或次线性增长的条件下, 应用锥上不动点指数理论, 获得了方程

(2)

正径向解的存在性结果, 其中f:+→+为连续函数,f(0)=0; 文献[9-11]讨论了含线性梯度项的椭圆型方程

-Δu=f(x,u)+g(|x|)x·u,x∈Ω

(3)

正径向解的存在性. 目前, 关于非线性项含梯度项的椭圆边值问题正径向解的存在性研究文献报道相对较少. 文献[12]在允许非线性项f(r,u,η)非负且关于u,η超线性增长或次线性增长的情形下, 应用锥上不动点指数理论, 获得了方程(1)正径向解的存在性结果, 其中f: [R0,∞)××+→+为连续函数.

上述研究结果讨论的均是非线性项f不含梯度……