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2020 年全国卷Ⅰ数学理科21 题考查导数的应用，将函数与不等式进行了有机结合，打破了常规解答思路，利用转化与化归思想，将目标函数转化为易于处理的新函数，再利用导数进行研究.该题综合考查了考生的逻辑推理能力、数学建模能力、运算能力以及数学语言表达能力.考生普遍认为此题虽然常规，但却不容易完整地解答出来.

一、试题解析及学生存在的问题

【2020 年全国卷I，理科21 题】已知函数f(х)=ex+aх2-х.

（1）当a=1 时，讨论f（х）的单调性；（2）当х≥0 时，f（х）≥1—2 х3+1，求a 的取值范围.

第（1）问已知具体函数，求单调区间，难度不大，但要运用数学语言准确进行表达.第（2）问乍看很简单，方法也很多，但每一种方法都有难点需要突破.下面结合考生的作答情况对两种思路进行分析.

思路一：参变分离法

学生案例1

该考生采用参变分离的方法进行解答，未能完整解出正确答案，主要存在以下两方面问题：

1.在参变分离时，由于思维不严谨，未对х是否为0 进行分类讨论；

2．不能对g（х）的单调性进行准确判断.

针对g（х）单调性的判断，有的考生做出了如下解答：

学生案例2

该考生想通过多次求导来研究g（х）的单调性，他发现存在х′O使得h(х′O)=0，g（х）max=g(х′O)，但是由于不知道х′O的具体取值，所以他想用“虚设零点”的办法，通过х′O满足h(х′O)=eх′O（2-х′O）+ 1—2（х′O）3-х′O-2=0 将g(х′O)代出来，但由于计算复杂、冗长，未能得出结果.事实上，通过试根可知х′O=2，本题得解.

当导函数g(х′O) 的分子含有三次多项式时，就可以试根，不必经过多次求导.由（2-х）eх，

该考生想到近几年来解决恒成立问题的一个“好”办法—“端点效应”，……