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2020 年全国卷Ⅰ数学理科21 题考查导数的应用，将函数与不等式进行了有机结合，打破了常规解答思路，利用转化与化归思想，将目标函数转化为易于处理的新函数，再利用导数进行研究.该题综合考查了考生的逻辑推理能力、数学建模能力、运算能力以及数学语言表达能力.考生普遍认为此题虽然常规，但却不容易完整地解答出来.

一、试题解析及学生存在的问题

【2020 年全国卷I，理科21 题】已知函数f(х)=ex+aх2-х.

（1）当a=1 时，讨论f（х）的单调性；（2）当х≥0 时，f（х）≥1—2 х3+1，求a 的取值范围.

第（1）问已知具体函数，求单调区间，难度不大，但要运用数学语言准确进行表达.第（2）问乍看很简单，方法也很多，但每一种方法都有难点需要突破.下面结合考生的作答情况对两种思路进行分析.

思路一：参变分离法

学生案例1

该考生采用参变分离的方法进行解答，未能完整解出正确答案，主要存在以下两方面问题：

1.在参变分离时，由于思维不严谨，未对х是否为0 进行分类讨论；

2．不能对g（х）的单调性进行准确判断.

针对g（х）单调性的判断，有的考生做出了如下解答：

学生案例2

该考生想通过多次求导来研究g（х）的单调性，他发现存在х′O使得h(х′O)=0，g（х）max=g(х′O)，但是由于不知道х′O的具体取值，所以他想用“虚设零点”的办法，通过х′O满足h(х′O)=eх′O（2-х′O）+ 1—2（х′O）3-х′O-2=0 将g(х′O)代出来，但由于计算复杂、冗长，未能得出结果.事实上，通过试根可知х′O=2，本题得解.

当导函数g(х′O) 的分子含有三次多项式时，就可以试根，不必经过多次求导.由（2-х）eх，

该考生想到近几年来解决恒成立问题的一个“好”办法—“端点效应”，即h（O）=0，则要求h′（0）≥0，又h′（0）=0，则要求h′（0）=1+2a ≥0，由 此 得 到这 个 错 误 的结果.实际上，只是本题的必要条件，而不是充分条件，更不是充要条件.将代回不等式中得到就会发现不等式并不是恒成立的，因为х=1时不等式就不成立.这反映了学生在学习时一直在模仿套路，逻辑思维并不是很清楚.

如果想直接分类讨论，转化为求函数的最值，这里介绍一种方法—“指数好朋友”，遇到eх时试将eх放到分母上，即e-х是eх的“好朋友”.采用这个办法解题需要有很强的逻辑推理能力、运算能力、直观想象能力等，不如第一种解法思路简单，所以，对题目合理有效的数学建模是解题的关键.

二、导数备考中需要注意的问题

1.规范使用数学语言进行表达.在读题、审题、作答的过程中，恰当使用文字语言、图形语言、符号语言进行思维表达，并按需进行适当转换，这是正确解答数学题目的基础，也是培养严谨逻辑思维能力的基本功.

2.重视数学运算能力.数学运算能力是其他能力实现的基础.建议高三学生在数学运算过程中，多反思运算的合理性、逻辑性、选择性、简捷性，多积累关于导函数处理的运算技巧，切实提高自己的数学运算能力.

3.深切体会导数在研究函数单调性中的工具性作用.对于一个复杂函数，当我们想知道它的几何性质时，就可以使用导数.对函数性质的研究，往往从函数的单调性开始.且导数的使用，有需即用，不论次数.

4.突破常规套路，提高思维能力.解题过程中要多思考为何这样做，这样做的合理性、必要性是什么；多反思此类题目有哪些常规思维方法，这些思维方法有无相通之处.

以上思考、反思的过程，就是提高思维能力的过程.掌握方法，再辅以适当的题目进行训练，就能达到提高思维能力的效果.