叶伟峰，黄华，苏炜，黄坤辉

中山大学航空航天学院，广东广州510275

防波堤作为对近岸海工建筑和海上作业水域实施保护的重要设施而广为应用。防波堤结构形式多样，常见类型包括单突堤（半无限长薄壁堤）、岛堤（有限长薄壁堤）、双突堤、岛式堤、梳式堤、T 形堤、圆弧堤以及V 形堤等等。Penney和Price［1］推导了Airy 微幅波对半无限长单突堤波浪绕射的一种积分数学解。Michael 和McCormick［2］用多项式近似代替弗雷斯纳尔积分，使Penney-Price 的积分解得到一定简化。余广明［3］应用不规则波模型对类似问题进行了相关研究。冯丽［4］应用Mike 21-BW 波浪模型对单突堤波浪绕射进行了数值模拟计算。Chang等［5］对微幅波作用下的V形防波堤的防浪效应展开了数值研究。陆志妹等［6］和程建生等［7］采用特征函数展开法解析计算了微幅波作用于V形防波堤的波浪力和相关绕射效应。楚玉川等［8］解析计算了Airy 微幅波对单层圆弧型薄壁防波堤的绕射波浪力。由于防波堤构建的所属水域大都属于近海浅水区域，当波浪从深水区向近岸传播时将明显呈现水波的非线性特征，线性微幅波理论可能不再适用，需要引入椭圆余弦波等相关浅水波理论。Issacson［9］最早应用椭圆余弦波一阶理论对单一圆柱的浅水波绕射进行了解析计算。邱大洪［10］进一步计算了椭圆余弦波对单柱绕射的波面分布。Weng等［11］应用特征函数展开法解析研究了透空圆环柱群与椭圆余弦波的相互作用问题。朱梦华等［12］解析计算了斜入射椭圆余弦波对无限长直立防波堤的波浪力。张敖等［13］解析研究了椭圆余弦波对圆弧型贯底式防波堤的绕射。

本文通过引入椭圆余弦波一阶分量模型，推广应用特征函数展开法，并使之与稳定相分析法相结合，首先对半无限长薄壁直立防波堤（单突堤）的浅水波绕射场进行了解析求解，进一步推导了椭圆余弦波对有限长直立薄壁堤绕射的多重级数解。根据本文所给理论，对两种典型防波堤的绕射波浪作用进行了综合实例计算，相关结果有效反映了浅水波绕射理论的合理与正确性，同时实现了对应两种防波堤浅水波绕射不同解法正确性的相互验证。

1 椭圆余弦波对直立薄壁防波堤绕射的一阶解

1.1 半无限长薄壁堤的绕射波解与波面和波浪力公式

均匀水深为d的海域中设置一直立且刚性的薄壁半无限长防波堤（单突堤）结构（如图1所示），建立坐标系oxyz（即坐标系orθz），其中oxy 平面位于水底，oz轴垂直向上，原点位于直堤左端点，ox正轴与堤身重合。入射波为浅水波中的椭圆余弦一阶波，波高为H，圆频率基频为ω，入射角为β（与轴ox 正向夹角）。海水可视为无粘不可压缩理想流体，其运动无旋，可按流场水波速度势描述流体运动。

图1 半无限长直立薄壁防波堤（单突堤）Fig.1 Semi-infinite vertical thin wall breakwater

单突堤对斜入射来波将分别产生反射和散射。设水波速度势总势、入射势、反射势和散射势分别为Φ、Φi、Φr和Φs，其边值问题的一般提法为

式中η 为波面，g 为重力加速度，另φ 须满足单突堤物面条件，φr和φs须分别满足各自无穷远处的辐射条件。入射角为β的一阶入射椭圆余弦波的波势可表达为［9，13］

据此可知，反射波谐波势φin须满足

另有单突堤波反射邻域堤身侧表面条件

应用特征函数解法可得斜入射条件下椭圆余弦波一阶分量反射势为

进一步椭圆余弦波入射波、反射波和散射波势的一阶波势和（总波势）可表达为

式中

利用渐近关系

再进一步应用稳定相分析法［14］，并利用式（13）可得

利用式（18）和（19），由（17）可得

相应总波势为

对应的波面公式为

波浪场压力分布为

单突堤单位宽浅水波波浪力（矩）公式为

1.2 有限长薄壁堤的绕射波解与波面和波浪力公式

在均匀水深为d的海域中设置长为2a（臂长为a）的直立贯底式有限长薄壁防波堤（如图2 所示），建立坐标系oxyz（即坐标系orθz），其中oxy平面位于水底，oz 轴垂直向上，原点位于直堤中点。入射波为椭圆余弦一阶波，波高为H，圆频率基频为ω，入射角为β（与轴ox正向夹角）。

高分子链在空间的形貌是高分子柔性的一种表现形式,也是高分子链的基本特征之一.如何运用数学模型来了解高分子链在空间的形貌和基本尺寸,是高分子物理学的基本内容.

以原点为圆心、臂长a为半径划一圆柱面，将流场划分为圆柱外流区Ω0和内流区Ω1(0 ≤θ ＜π)与Ω2(π ≤θ ＜2π)。设海水为理想无粘不可压缩流体，运动无旋。设水波速度势总势、入射势和散射势分别为Φ、Φi和Φs，入射角为β 的一阶入射椭圆余弦波的波势可表达为［13］

图2 有限长直立薄壁防波堤Fig.2 Finite-length vertical thin wall breakwater

0 (0 ＜r ≤a，j = 1：θ = 0，π；j = 2：θ = π，2π)以及拉氏方程、海底条件和无穷远处辐射条件。各流域圆柱交界面径向匹配条件为

由边界条件式（29），可设：

其中

将f(θ)在0～2π上展开为傅氏级数，可得

相应地，

式中δij为克罗内克函数，且有

由边界条件式（30）和（31），利用函数系{cos mθ，0 ≤θ ≤π}和函数系{cos m(θ - π)，π ≤θ ≤2π}的正交性，分别可得

2 算例与分析

在半无限长薄壁堤和有限长薄壁堤的算例中，波面的无量纲因子为H，单位宽波浪力和总波浪力分别按ρg(H/2)d和ρg(H/2)ad 无量纲化，而空间坐标x、y的无量纲因子为d。因浅水波中无量纲单位宽波浪力矩值和无量纲总波浪力矩值分别为对应力值的一半，故实算中进行波浪力计算即可。为方便比较，有限长堤取足够长度（a/d = 20），对半无限长堤和有限长堤各自左端相同位置附近邻域作浅水波正入射下无量纲绕射波面分布图，即图3-4。

图3 半无限长薄壁防波堤的最大波面分布等高线图Fig.3 The contour plot of maximum wave surface distribution of semi-infinite thin wall breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

如图所示，两图存在明显相似的最大绕射波面分布特征，从而验证了不同解下相似几何特征结构的水波绕射具有相似的作用机制和解析结果。进一步，选取足够长有限长堤与半无限长堤左端部相同位置处作最大波面分布剖面对比图。为此，半无限长堤取x1/d = 10 作剖面（半无限长堤左端位置为x1/d = 0），足够长有限长堤取x2/d = -10 作剖面（有限长堤中端位置为x2/d = 0），两处为同一位置。如图5所示，在相同波浪参数条件下，两剖面结果高度吻合，这表明足够长的有限长堤端部的绕射波面分布与半无限长防波堤的对应结果十分接近，从而对两种防波堤浅水波绕射解的不同解析解法实现了有效的相互验证。图5的结果表明：对于两种防波堤，堤前壁最大无量纲波面大幅降低80%以上至堤壁后邻域，反映了防波堤的有效防浪效应。

图4 有限长薄壁防波堤的最大波面分布等高线图Fig.4 The contour plot of maximum wave surface distribution of finite-length thin wall breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

图5 半无限长堤和有限长堤的最大波面分布剖面Fig.5 The profiles of maximum wave surface distribution of semi-infinite and finite-length breakwaters(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 20)

图6为半无限长薄壁堤和足够长有限长薄壁堤所受最大无量纲单位宽波浪力分布的对比图。为方便计，图中符号f1、f2分别代表半无限长堤和有限长堤上按因子ρg(H/2)d 无量纲化后的单位宽最大波浪力。波浪力分布统一从防波堤左端部开始计算（半无限长堤从左端取无量纲堤长范围x1/d =0～20；有限长堤从左端到中端取无量纲堤长范围x2/d = -20～0）。图6 表明：两种防波堤对应的无量纲最大单位宽波浪力随堤长振荡变化且相互大致吻合，特别左端结果基本吻合，由此进一步相互验证了两种不同形式浅水波绕射解析解的正确性。

图6 半无限长堤和有限长堤的最大无量纲单位宽波浪力Fig.6 The maximum dimensionless wave force per unit width of semi-infinite and finite-length breakwaters(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 20)

图7-8分别为相同浅水条件下绕半无限长堤和绕有限长堤绕射的椭圆余弦波和Airy 波之最大无量纲波面分布剖面，图7（半无限长堤）取x1/d =10 作剖面，图8（有限长堤）取x2/d = 0 作剖面，横坐标为无量纲纵向距离y/d。结果表明：两种防波堤的堤前最大波面的椭圆余弦波计算值整体上明显大于Airy 波理论的对应值，其中半无限长和有限长防波堤前侧的椭圆余弦波无量纲最大波面分别高于Airy波对应值的60%和35%。

图9-10 分别为半无限长堤和有限长堤上的椭圆余弦波与Airy 波的最大无量纲单位宽波浪力的比较图。图9表明：半无限长堤所受Airy 波的最大单位宽无量纲波浪力平均而言约为椭圆余弦波对应结果的61%；而图10 表明：有限长堤（考虑正入射波绕射作用的对称性，从左端取无量纲堤长x2/d = -5～0 即可）的此对应值约为65%。以上结果表明：在一定的浅水条件下，采用椭圆余弦波模型来预测两种防波堤的波浪作用更为合理可靠。

图7 绕半无限长堤的椭圆余弦波和Airy波的最大波面分布剖面Fig.7 The profiles of maximum wave surface distribution between cnoidal wave and airy wave around semi-infinite breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

图8 绕有限长堤的椭圆余弦波和Airy波的最大波面分布剖面Fig.8 The profiles of maximum wave surface distribution between cnoidal wave and airy wave around finite-length breakwater(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

图9 半无限长堤椭圆余弦波和Airy波的最大单位宽波浪力Fig.9 The maximum wave force per unit width on semi-infinite breakwater between cnoidal wave and airy wave(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4)

图11 为半无限长堤（自左端取无量纲堤长范围x1/d = 0 ～20）最大无量纲单位宽波浪力随入射角度的变化趋势。由图可知：在左端部一定邻域（0 ＜x1/d ＜3）最大单位宽无量纲波浪力随入射角增大（从左入射到右入射，β = π/2 为正入射）而略为增大。随着堤长增大，单宽波浪力呈现振荡变化，且随入射角的变化同样呈振荡变化。图12为有限长堤左端至右端最大无量纲单位宽波浪力随入射角度的变化趋势。考虑水波左入射与右入射的对称性，则仅需计算分析水波右入射即可（β = π/2～π，其中β = π/2为正入射）。图中结果表明：入射角变化对端部单宽波浪力影响相对较小。对于水波右入射而言，当x2/d ＞-2，单宽最大无量纲波浪力随入射角的增大而减小，平均而言正入射堤对应最大单宽波浪力幅值。此外，有限长堤中部单宽力平均而言大于两端邻域的对应值。

图10 有限长堤椭圆余弦波和Airy波的最大单位宽波浪力Fig.10 The maximum wave force on finite-length breakwater per unit between cnoidal wave and airy wave(λ= 3，β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

图11 不同入射角下半无限长堤最大无量纲单位宽波浪力Fig.11 The maximum wave force per unit of semi-infinite breakwater at different incident angles(λ= 3，kd = 0.4)

图13-14分别为半无限长堤和有限长堤在不同非线性影响因子λ下最大无量纲单位宽波浪力的分布变化图。图中结果表明：随着λ的增大，在两种防波堤上分布的无量纲单位宽波浪力有所增大，当λ ＜3 时增幅较为明显，之后增加的趋势减缓。按表达式λ=(H/d)/(kd)2，在固定参数kd 和水深d的情况下，随着λ的增大，波高H同样增大，则由两种防波堤上单位宽波浪力的无量纲因子ρg(H/2)d可知，实际最大单位宽波浪力将随着λ的增大而增大。

图12 不同入射角下有限长堤最大无量纲单位宽波浪力Fig.12 The maximum wave force per unit of finite-length breakwater at different incident angles(λ= 3，kd = 0.4，a/d = 5)

图13 不同λ下半无限长堤最大无量纲单位宽波浪力Fig.13 The maximum wave force per unit of semi-infinite breakwater at different λ(β = π/2，kd = 0.4)

图14 不同λ下有限长堤最大无量纲单位宽波浪力Fig.14 The maximum wave force per unit of finite-length breakwater at different λ(β = π/2，kd = 0.4，a/d = 5)

图15 为不同入射角下有限长堤最大无量纲总波浪力随参数kd 的变化趋势。图中f3为椭圆余弦波一阶分量作用于有限长薄壁防波堤的最大无量纲总波浪力。同样，考虑水波左入射与右入射的对称性，仅需计算右入射即可。结果表明：最大无量纲波浪力随kd 先增后减，进一步呈振荡变化。随着水波入射角的增大，总波浪力幅值减小，其中水波正入射（β = π/2）的总波浪力幅值明显高于其他入射角度的对应值。

图16 为不同臂长水深比下有限长堤最大无量纲总波浪力随参数kd 的变化趋势。由图中结果可知，当kd 较小时（kd ＜0.5），最大无量纲总波浪力随臂长水深比的增加而略为增加。而当kd ＞0.5时，随臂长水深比的变化，总波浪力幅值交错变化。

图15 不同入射角下有限长堤最大无量纲总波浪力随kd的变化Fig.15 Variation of maximum dimensionless total wave force of finite-length breakwater with kd at different incident angles(λ= 3，a/d = 5)

3 结 论

本文使用特征函数展开法和稳定相分析法，分别给出浅水波模型下半无限长直立薄壁堤和有限长直立薄壁堤的解析解，并据此计算了半无限长堤和有限长堤在椭圆余弦波绕射下的波面分布、单位宽波浪力以及总波浪力，得出以下结论：

图16 不同臂长水深比下有限长堤最大无量纲总波浪力随kd的变化Fig.16 Variation of maximum dimensionless total wave force of finite-length breakwater with kd at different arm length to water depth ratios(λ= 3，β = π/2)

1）取一较大的臂长水深比，将防波堤端部最大波面分布、最大波面分布剖面以及沿有限长堤分布的单位宽波浪力与相同浅水条件下的半无限长堤计算结果进行对比，两者结果十分接近，实现了两种不同模型解析解的相互验证，说明本文给出的解是合理可靠的。

2）利用本文给出的浅水波模型下半无限长堤和有限长堤的理论解进行实算，发现最大无量纲波面分布剖面和最大单位宽波浪力分布皆大于相同浅水条件下Airy 波理论的结果，采用浅水波理论来预测防波堤受到的波浪作用更可靠。

3）入射角β 对半无限长堤和有限长堤上最大单位宽波浪力的分布有影响。有限长堤总波浪力受入射角、臂长、水深比等波浪参数的影响。综合来说，浅水波入射角以及防波堤堤长与水深比等参数的变化均将对波浪作用产生一定影响。随着浅水波特征参数值的增加，防波堤的实际绕射波浪力也将随之增加。