刘有婷

古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“数统治着宇宙。”简单的数字、符号通过自由组合却能够产生描述万物的语言，这是许多数学家沉迷于数学的原因。上海交通大学数学科学学院副教授李友林也是沉迷于数学的一名研究人员。在他看来，热爱数学的人是一群对世界充满好奇、渴望在抽象中感知自然秩序的人。而令李友林痴迷的领域是已经具有100多年历史的“切触几何”。

走进切触几何世界

平时喜欢安静的李友林，在谈起自己所研究的领域时却总是滔滔不绝。

据他介绍，切触几何是研究奇数维流形上的完全不可积超平面场的几何。它是偶数维流形上的辛几何的奇数维对应。所谓完全不可积是说流形中的任何超曲面在其中任何开集上都不与所给超平面场处处相切。直观看来，这意味着超平面场“转得太多了”以至于不能与任何超曲面的切丛重合。Darboux证明奇数维流形上的切触结构在局部上都是一样的，所以切触几何的研究内容和结果都是与流形整体有关的，这一点与黎曼几何不同。

切触几何起源于1872年Sophus Lie引入切触变换作为研究微分方程组的一种几何工具。切触结构可以用来描述一些物理现象。Gibbs和Caratheodory用它来描述热力学。几何光学中的Huygens原理等价于切触几何中的一个论断。切触几何也与其他若干数学分支有联系，比如低维拓扑、辛几何、代数几何中的奇点理论、多复变中的Stein流形，等等。多个数学分支在切触几何这个舞台上交融互动，演绎出一幕幕精彩绝伦的数学戏剧。……