马昕怡

摘 要：矩阵对现实生活和科学来说，是一个不可或缺常见工具，在现实生活所起重要性不言而喻，广泛运用在人口变化及未来预测、经济生活和社会生活、战争情报和商业情报传递、高代图形变换等方面，广泛被社会和大众所接受，同时通过广泛应用也加深对矩阵在现实生活中重要性认识和分析，大大激发了同学们学好数学积极性、主动性、创造性，以饱满热情投入到学习数学中去。

关键词：矩阵;現实生活;重要性;应用广泛

一、矩阵定义、由来、运算、其他特殊矩阵

据查证矩阵最先由英国数学家凯利提出，本意是子宫和控制中心的母体及孕育生命的地方。矩阵在数学上最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，具体表现为纵横排列的二维数据表格，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。同时矩阵作为高等代数学中的常见工具，常见于统计分析等应用数学学科和计算机科学中，具体体现在机器学习及图形变换和三维动画制作等方面。同时也常见于物理学电路图等，具体体现在电路电阻串并联或复杂电路混连、力学和牛顿三定律、光学和量子物理等方面。国内据考证矩阵于1922年由民国程廷熙在《范氏高等代数学》文章中翻译为“纵横阵”，并随着时代延伸，在1993年，由中国自然科学名词审定委员会公布“矩阵”这个名词，并沿用至今。

矩阵实际上是一种线性变换，矩阵常见的运算最简单莫过于加减法、数乘和转置运算，即在理论和实际应用上，把矩阵简单化运算，就是将矩阵分解为几个简单矩阵组合，分解相当于原来的线性变换可以由两次（或多次）线性变换来表示。除此之外同时还存在一些应用广泛而形式特殊的矩阵，假若值相同的元素或者零元素在矩阵中的分布有一定规律，如Z矩阵，M矩阵，H矩阵，对角占优阵，非负矩阵;上三角矩阵/下三角矩阵，三对角矩阵，带状矩阵;对称矩阵，反对称矩阵，正交矩阵，酉矩阵，正规矩阵;辛矩阵，反辛矩阵;正态分布随机矩阵、魔方矩阵等。

二、矩阵在现实生活中重要性

矩阵在现实生活中应用之广，存在无可比拟的重要性。本文主要侧重于体现在人口流动控制显示方面、经济生活运用在求消耗或成本计算方面、数学高代坐标和图形变换计算方面、战争情报和商业情报传递方面等等，通过矩阵归纳运算等方式方法体现出直观、方便、归纳、保密等特点，更加激发同学们学习数学兴趣，提升学习高代动力。

（一）体现在地区人口普查及人口流动变换方面的重要性

矩阵高次幂在预测未来人口数量和发展趋势或环境发生改变期间居民外出归来等方面起着重要作用，高次幂以乘法为基础，是由低次幂矩阵经归纳法总结所得出结论，进一步来验证所归纳总结结果是否正确，主要运用在人口流动变换较为单一矩阵方面，可以将复杂化问题通过归纳总结得出一定规律结论，从而简洁明了（此方法对此类问题较为适用）。

例如通过调查发现，在河北省石家庄市鹿泉区有50万流动人口从事务农、打工、经商职业，去年和今年由于整体环境发生变化，产生影响，按上级政策要求，上述流动人口原则上几乎不作流动。假定若干年内，流动人口总数保持不变，通过人口调查发现：

（1）在50万流动人口中，从事农业生产人员10万、打工人员20万、经商人员20万;

（2）假如从事农业生产人员每年有20%转变为务工人员，从事农业生产人员每年有20%转变为经商;

（3）假如打工人员由于整体环境改变影响每年有10%回家从事农业生产，20%人员转变为经商办企业;

（4）如经商人员中，由于受整体环境影响有10%回家从事农业生产，10%变成打工人员。

求若干年后，从事农业生产、打工人员、经商人员总数是多少？

看到类似问题，应首先想到用方程组列解，假设用xn，yn，zn分别表示n年后从事农业生产人员、从事打工人员、从事经商人员的数量，由题意可得到：

zi，则通过运算归纳规律逐步得出Xi=AXi-1结论，由低次幂计算结果来正确总结得出A，A的平方，A的立方等等，再逐步分析归纳得出相应结果：

则第n年为Xn=AnXn-1。由此不难发现从事3种行业人数由A的n次幂决定。上述问题正确运用了矩阵转置、乘法等运算，将一个实际问题纯数学化，大大解决了在预测未来人口数量和发展趋势或环境发生改变期间居民外出归来方面难题，由此可得出矩阵在实际生活有着不可替代重要作用，这对于我们解决实际问题重要性不言而喻。

（二）体现在经济生活和社会生活中的重要性

学过高代都知道，矩阵是在行列式、多项式、线性方程组的基础上演变而来的，运用行列式求消耗或运用成本最少等类似问题，可以看出方便、简洁、直观，增强人们可视性。这方面例子较多，在此略举一例：

比如某某生产口罩厂家产品主要分为3种：一次性口罩、医用口罩、N95口罩（其他类型略），出现整体环境发生变化前口罩需求量一般都较少，那时人们普遍没有戴口罩习惯，又加上认识不到位。自2020年来，整体环境和生活环境出现了较大变化，又加上大家对个人安全保护防护认识进一步加深，戴口罩慢慢成为一种习惯，因此口罩需求量加大，要加大生产量和提升生产进度，随之员工工资和原料费用也随之上涨，如图所示：

由此可见矩阵低次幂求解，可以直接按照矩阵乘法的定义求解，利用矩阵乘法，就可以得出3类口罩平时总成本107500（45000+350000+27500），环境发生改变时期总成本910000（360000+320000+230000），比较直观显示此工厂生产3种类型口罩总成本。

（三）体现在对机器学习或图形变换上的重要性

在机器学习方面，首先要在数据集应用于机器学习模型前，对数据集进行预处理，如在数据去噪音、降维方面，就可提高模型预测准确率，主要表现在求解数据集协方差矩阵的特征向量，将向量值从高到低排队，选取几个向量值对应向量作为新的坐标向量，然后将所有数据变换新坐标系上，进而得到低噪音低维后数据集合。在图形变换上，如在解析几何中设立一个三角形ABC，其坐标点A（1，2），B（3，4），C（5，6）。设其向x轴反向位移2个单位，y轴正向位移2个单位，求平移后各点坐标及相应变换矩阵？

我们由题意不难得出方程x1=x0-2

y1=y0+2，由此则可得变换后坐标点A（-1，4），B（1，6），C（3，8），A1=121

341

561（矩阵变换前）

由题知：图形变换前，A（1，2，1）、B（3，4，1），C（5，6，1）。平移矩阵后就可以得到：A（1，4，1）、B（1，6，1），C（3，8，1）。用矩阵表示A1+A0=A2，且A0=-2

2

1，A2=-141

161

381（A1和A2第一行分别表示平移前后A点坐标，第二行分别表示B点平移前后坐标，第三行分别表示C点平移前后坐标）。由此发现一种图形变换对应一个矩阵运算，由矩阵前后变换可见图形变换体现出直观，简洁，统一，奇异等特点，大大提升我们学习数学积极性、创造性，激励我们一定要把数学这门基础学科学好。

（四）体现在对于传递战争情报和商业情报上的重要性

如26个英文字母A、B、C、D、E、F……Z，对应相应阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、……26，再选取一个密钥矩阵如A=111

-101

011而对密钥矩阵要求，即为矩阵可逆，然后求出其逆矩阵A-1，这对战争中情报传递和商业情报获取或商业信息传递尤为重要。求解逆矩阵主要是以矩阵的初等变换（行、列变换）为基础的方法，作为求逆矩阵的一般方法，并且可以推广分块矩阵去解决高阶三角形矩阵求逆，另外就是利用矩阵与其伴随矩阵的乘积，加上行列式的依靠依列展开式的性质求矩阵的逆矩阵。同时要求相应工作人员在熟知明文（未编码信息）、密文（译成代码信息）、编码（明文转成代码的教程）、译码（由代码转成明文的过程）的基础上，熟悉工作原理，其主要原理就是选择一个n阶可逆矩阵作为加密矩阵，将明文字符按顺序排列分组，将明文字符对应一个整数，组成一组列向量，用加密矩阵端乘每列向量即可。解密即把计算密钥矩阵的逆矩阵A-1，最后得到一个明文对应于一个字符。

例如二战时期，前苏联曾截获前纳粹德国一份情报，即前苏联一个情报人员对象发出的，I miss you，一般人看来无非是热恋男女爱情表白，然前苏联情报人员并没有放松警惕，由此展开研究，由情报密码可知其对应数为9，27（空格），13，9，19，19，27（空格），25，15，21，由于加密矩阵为三阶，原明码矩阵可以变成三行阵即Y=9

11-1，则解码，A-1AY=Y，最后通过密码规则得出是一条重要情报，并审查出其女友是前纳粹一名谍报人员，并及时改变作战计划和战略部署，造成假象迷惑对方，避免人员、装备、财产损失，为争取战争主动权立下奇功。由此可见将矩阵和逆矩阵及密码学有机结合起来，运用到军事情报中，充分显现矩阵运用在战争情报中重要性不言而喻。

同理矩陣在商业信息中运用也较为广泛，存在不可比拟重要性，这点在现代商业中尤为突显，把26个不同字母对应数字进行不同排列，再选择不同可逆矩阵，不同映射关系，就是得到不同矩阵，这样就有很多种加密和解密方式，这样就确保传递商业信息秘密性，确保商业消息安全。

三、结语

通过矩阵在人口预测、经济生活、图形变换、战争和商业等方面的应用探讨，充分体现出矩阵在实际生活中存在一定重要性，体现出矩阵直观、简洁、明了等特点，这对提升学好数学兴趣、探索数学秘密，打牢数学基础，加深矩阵研究，做好理论实践有机结合，使矩阵广泛运用在实际工作生活中去，更好为实际工作生活服务，具有重要意义。

参考文献：

[1]《线性代数及其应用》（第二版）.华东理工大学出版社.

[2]《线性代数及其应用》（第二版）.天津大学数学系代数教研组.

[3]陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M].北京：电子工业出版社.

[4]杨义先.高维矩阵在密码学中应用.北京邮电学院学报.