杨怀杰，乔宝强

（核工业北京地质研究院，北京 100029）

声波时差曲线是进行砂泥岩地层划分、含矿层预测的基础资料，然而在实际工作中由于受钻孔环境、地质条件和探头本身条件的影响，声波时差资料不能很好的反映地层岩性特征的变化情况。因此，一些学者对拟声波测井曲线重构方法进行了研究，研究一般基于多元回归模型［1-2］，利用对砂泥岩地层比较敏感的测井曲线重构拟声波测井曲线，基于重构后声波测井曲线进行砂泥岩地层横向展布研究及含矿层预测。

1 多元回归模型原理

多元线性回归模型是指通过对两个或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析［3］。在拟声波时差曲线重构问题上，因变量是声波时差测井曲线，自变量可以是一条或者多条其它测井曲线，它们之间的关系可以是线性关系或者非线性关系。

假设因变量和自变量的线性回归模型如下［4-5］：

其中，a0，a1，a2，…，ak为k+1 个未知数，a0为回归常数，a1，a2，…，ak为回归系数；y为因变量，x1，x2，…，xk为k个实测自变量；ε为随机误差（残差）。

用矩阵表示如下：

这时多元线性回归模型可以写作：

当k=1 时，上式为一元线性回归模型；当k≥2 时，上式为多元线性回归模型，通常要满足以下条件：（1）E(ε)=0；（2）var(ε)=δ2；（3）x1，x2，…，xk不相关。

在正态假设下，如果X 是列满秩，则线性回归模型的参数最小二乘估计为：

由此得到回归模型参数a0，a1，a2，…，ak的估计值。

将回归模型参数计算结果带入式（1）中，得到重构测井曲线的多元线性回归方程。……