李晓宇 吕玉东

1.山东理工大学物理与光电工程学院 山东 淄博 255000

2.山东化工职业学院 山东 潍坊 261000

引言

1997年Casperson等人提出了波动方程在直角坐标系下的一类特殊解,即厄米-正弦类高斯光束,并研究了该类光束在自由空间和复杂光学系统中的传播特性[1,2]。在此基础上,人们进一步对厄米-正弦类高斯光束的一些特例进行了相关的研究,如吕百达等人对此类光束做了比较系统的报道,详细给出了有光阑和无光阑情况下两种形式,并对其传输特性进行了研 究[3,4];R.P.Chen等人研究了Kerr介质对双曲正弦光束传播的影响[5],Y.Huang等人报道了正弦高斯光束在湍流中的传播和远场特性[6];另一方面,利用该类光束实现其他的光场的调控也多有报道,如H.Tang等人利用正弦高斯光束产生了中心暗部的空心光场[7],类似的,Jie.Z等人采用分数傅里叶变换的方法获得了椭圆形的中心暗部光场[8]等等;从目前的研究来看,该类光束的研究多集中在其在标量光场中的传播特性,对其在矢量光场中的传输研究较少。

柱矢量光束(Cylindrical vector,CV)自2000年被Youngworth等人首次研究了紧聚焦特性以来[9],人们开始意识到矢量光场在紧聚焦方面的应用潜力,角向偏振光(Radially polarized,RP)和径向偏振光(Azimuthally polarized,AP)作为矢量光束的两种典型,也一直保持着较高的研究热度。研究表明,经高数值孔径物镜聚焦后的角向偏振光不产生径向电场分量,总的场分布表现为横向分布。依据这种特殊的焦场性质,Youngworth等人将其应用在扫描显微镜照明上可以获得具有梯度敏感的暗场图像[10],B.Tian等人利用紧聚焦的双环形角向偏振光实现了亚波长聚焦孔径[11],Yuan等人使用空间相位板对紧聚焦角向偏振光进行调制,得到了具有长焦深的无衍射横向偏振光[12]。此外,X.Jiao等人利用旋转对称的扇形障碍物实现角向偏振光在紧聚焦系统中的横向能流的重建,这种构建横向能流的方法对光能的转换损失较大[13],最近,Z.Man等人又提出使用环形螺旋相位板对角向偏振光束进行调制,在保证焦平面能流重构的同时,又为光束整形提供了思路[14]。

在本文中,我们提出了一种具有角向偏振的正弦高斯光束(sine-Gaussian beam,SGB),借助Richards-Wolf矢量衍射理论,构建了该光束在紧聚焦系统中的电磁场和坡印廷矢量模型,基于该模型我们计算了这种结构光场在焦平面上的电磁场分布和坡印廷矢量的分布情况。结果显示,虽然振幅调制破坏了光束的对称性,但对横向能流的影响却很小,依旧保持角向偏振光的紧聚焦特性,并在焦平面上产生扁平状光斑,此外,我们还研究了焦平面上的角动量(Angular momentum,AM)分布,这些特性或在光学捕获和光学操纵中有应用潜力。

理论和方法

线性偏振光的电场表达式在数学上可以描述为[15]

这里,A0为入射光的振幅相关常数,r为极径,ω0为光束的束腰半径,êx和êy为 沿x方向和y方向上的偏振基矢,φ为方位角,êr和êφ分别为极坐标系中沿径向和角向的基矢量,φ0代表光束的初始偏振方向。

我们选取初始方向沿y轴方向的线性高斯光束经过角向偏振提取器,由于偏振提取器的特殊结构可以选择光束的每一点处偏振的角向分量通过,而阻挡住偏振径向分量,因此,我们就可以很方便的获取这种具有角向偏振的正弦光束。

在紧聚焦系统中,入射光束的振幅、偏振相位等信息会对其紧聚焦特性产生重要的影响并为光学系统设计提供思路。将获得的SGB通过高数值孔径(NA)物镜,并在像空间获得聚焦的电场分布,根据Richard-Wolf矢量衍射理论[16],在聚焦区域的光束的电场表达式可以描述为:

这里k=2πn/λ是像空间波数,λ为自由空间中的入射波长,f为系统焦距,θ和ø为像空间光线与纵向z轴的收敛角和像空间光线方位角,系统最大汇聚角α由高数值孔径物镜和像空间折射率n决定,入射光的相对振幅分布l0(θ,φ)在光瞳面上处的表达式为

这里β为入瞳半径和束腰半径的比值。

相似的,根据电场和磁场的对应关系,我们还推导了在聚焦区域的磁场分布表达式

这里ε和μ为物空间介电常数和磁导率。值得注意的是,和电场分量不同,在聚焦区域磁场纵向分量不为零。

结果与讨论

现在,我们根据以上的分析模型对SGB在紧聚焦系统中的聚焦特性进行讨论,在计算中我们选取系统参数NA=0.95,波长λ=532nm,β=1,图(1)显示了聚焦电场的强度分布情况,三列从左到右分别代表横向分量、纵向分量和总的强度分布,第一行显示了焦平面(x-y平面)的电场分布情况,第二行显示过焦平面(x-z平面)的电场分布情况,所有的数值归一化至电场最大值。在电场分布中,总的电场分布由横向分量提供,纵向分量为0,这与已经报道的结果相一致,不同的是,在焦平面上,横向分量打破圆对称分布的特性,旁瓣强度和电场中心强度相比微弱且电场最大值集中在光轴中心,呈现椭圆形实心分布。这主要得益于入射光场的振幅的正弦分布。对应的,在过焦平面上,电场强度在焦平面处最大,方向沿z轴正方向且轴向宽度大于横向宽度。

图1计算了SGB在焦平面上(第一行)和过焦平面(第二行)上的电场强度分布。从左至右分别对应横向电场分量,纵向电场分量和总电场分布。强度模式归一化至总的电场强度最大值。

同时,我们还计算了紧聚焦的SGB在焦平面和过焦平面上的磁场分布情况,如图(2)所示,有趣的是,磁场的横向分量与电场的横向分量分布相类似,强度最大值都集中在光轴中心,不同的是,磁场具有纵向分量,在焦平面上,纵向分量分布在几何焦点两侧,强度与

横向强度相近,总的磁场强度由横向分量和纵向分量相叠加,在x方向上拉伸,且最大值在几何焦点两侧。在过焦平面上,纵向分量分布在光轴两侧,为总磁场分布提供边缘贡献。

图2计算了SGB在焦平面上(第一行)和过焦平面(第二行)上的磁场强度分布。从左至右分别对应横向磁场分量,纵向磁场分量和总磁场分布。强度模式归一化至总的强度最大值。

在实际的紧聚焦研究中,人们常常将研究重点放在电场和磁场分布情况上,事实上,在光与物质相互作用时,能量和动量的转移常常离不开对坡印廷矢量的研究,在时谐三维电场中,时间平均坡印亭矢量根据电场和磁场矢量定义为[17]:

在这里我们计算了SGB在焦平面和过焦平面上的坡印廷矢量的分布情况,如图(3)所示,图(a)显示了焦平面上横向坡印廷矢量分布情况,明显的,对于入射光的振幅调控对横向坡印廷影响很小,与图(b)中纵向坡印廷矢量相比可做忽略处理。在过焦平面中,纵向分量保持正值,且方向沿y轴正方向,这意味着当吸收性颗粒在光场中时,纵向坡印廷矢量会为其提供向右的辐射压力,推离粒子向右移动。

我们知道,和坡印廷矢量一样,光在传播过程中携带的角动量在理解光与物质相互作用时的动力学原理具有重要意义。对于光学角动量,通常情况下由两部分构成:自旋角动量和轨道角动量[18-20]。

其中,自旋角动量有[21-23]:)

对应的,轨道角动量为:

这里ω=kc为角频率,c为真空中的光束。图(4)显示了焦平面处SGB的角动量分布情况,三列分别代表自旋轨道角动量、轨道角动量和角动量分布情况,第一行和第二行分别为对应的横向分量和纵向分量,其中,黑色的箭头代表各点的方向。在(a)中,横向自旋角动量由纵向电场产生,正是如此,纵向电场分量的缺失使得横向自旋角动量数值极小,忽略不计,这也意味着当吸收性颗粒处于焦场中,不会受到自旋力矩的影响发生旋转。而轨道角动量则不同,在分布上横向轨道角动量呈现非均匀分布,在整体方向上表现为顺时针旋转,在焦点中心存在奇点。总的来看,紧聚焦的SGB角动量主要由横向轨道角动量提供,这对研究吸收性颗粒的在紧聚焦光场中的轨道运动具有重要意义。

图3计算了SGB在焦平面上(第一行)和过焦平面(第二行)上的坡印廷矢量分布。左右两列分别对应横向坡印廷矢量和纵向坡印廷矢量,所有的强度分布均归一化至坡印廷矢量在焦平面上的最大值。

图4紧聚焦的CGB在焦平面上的角动量密度的横向分量(第一行)和纵向分量(第二行)。从左到右分别对应自旋角动量密度,轨道角动量密度,和角动量密度,(a)-(c)中的箭头说明了该处自旋角动量密度,轨道角动量密度和角动量密度的方向,(d)-(f)中正值和负值分别对应沿z轴正方向和负方向。强度分布归一化至线性动量最大值。

结论

总的来说,我们在本文中提出了一种生成具有角向偏振的正弦高斯光束,并根据Richard-Wolf矢量衍射理论建立了在紧聚焦系统中的该光束电磁场分析模型。计算显示,该光束在紧聚焦系统中可以产生椭圆形的电场分布,这对该光束在光学捕获等方面的应用提供了新的参考;我们还对该光束在紧聚焦系统中的磁场和坡印廷矢量进行了计算分析,振幅调控虽然破坏了光束的轴对称性,但在焦平面上依旧保持横向能流的缺失;最后,我们计算了对应焦平面上角动量的分布,角动量主要由轨道角动量构成且呈非均匀分布,在方向上呈现顺时针旋转,该特性有望在研究光学颗粒在光场中的轨道运动提供方向。