焦淑云

（1.山西师范大学 现代文理学院，山西 临汾 041004；2.山西师范大学 数学与计算机科学学院，山西 临汾 041000）

0 引言

在自然生态系统中，猎物和捕食者总是在运动，因此在描述生物和生态问题时，许多学者都用到了反应扩散方程[1-3]。 此外，时间延迟在种群模型中广泛存在。当捕食者吃掉猎物时，它不会立即增加捕食者的密度。存在妊娠期延迟，捕食者密度在一定时间后增加，这种类型的时延经常被学者研究[4-7]。在长期的生物进化过程中，物种会对周围环境做出反应。也不是所有食饵都参与到了交互过程，一些小的或相对机灵的猎物会躲起来以避免捕食者的攻击。为描述这种行为，许多学者研究了具有食饵避难行为的捕食模型[8-10]。对于一些物种，当人口密度低于这个阈值，物种将灭绝，这种现象被称为强Allee效应，具有Allee效应的模型也被许多学者大量研究[11-14]。

1 模型简介

本文综合考虑以上因素，建立了一类食饵具有避难和强Allee效应的时滞捕食者-食饵扩散模型，模型如下：

这里，u=u(x，t)和v=v(x，t)分别表示t时刻位于x的食饵和捕食者的密度，m∈(0，1)表示Allee效应阈值，θ∈(0，1)表示避难食饵的比例，α是最大捕食率，h表示半饱和常数，β代表转化系数，r为捕食者的死亡率，d1，d2表示食饵和捕食者的空间扩 散 系 数 ，u(t-τ)=u(x，t-τ)，v(t-τ)=v(x，t-τ)，τ表示猎物的生物量转化为捕食者的生物量需要的时间，n表示外法向量，Ω⊂Rn表示具有光滑边界∂Ω的有界域，本文我们取Ω=(0，l)。

对于不含扩散、时滞及强Allee效应的模型（1），Kar等[15]研究了模型的有界性、平衡点的稳定性以及极限环的存在性。……