（西华师范大学数学与信息学院，四川 南充 637002）

本文主要对以下具有信号回路的趋化模型进行研究，

该模型是文献[1]中提出的趋化模型的简化，其中，Ω ⊂R2是一个具有光滑边界的有界区域，表示关于边界∂ Ω的外法向量ν的导数，未知函数u(x,t)、v(x,t)、w(x,t)和z(x,t)分别表示巨噬细胞密度、乳腺癌细胞密度、CSF-1 的浓度和EGF 的浓度，参数 χ1、χ2和 χ3分别表示巨噬细胞、乳腺癌细胞和乳腺癌细胞系中CSF-1/CSF -1R 自分泌信号回路的趋化系数，参数s1、s2分别表示乳腺癌细胞分泌CSF-1 和巨噬细胞分泌EGF 的速率，参数r1、r2分别表示CSF 和EGF 的均匀降解速率。假设参数s1、s2、r1、r2都是正常数，初始值u0、v0、w0和z0都是非负函数。

该模型描述了乳腺癌细胞和巨噬细胞在短期化学信号回路中的趋化性行为。巨噬细胞分泌EGF，一方面有自身的自由扩散；另一方面会朝向由乳腺癌细胞所分泌的CSF-1 的浓度梯度方向做趋化性运动。乳腺癌细胞通过操纵固定的巨噬细胞信号来迁移，乳腺癌细胞分泌CSF-1，一方面可与巨噬细胞上的CSF-1 受体结合激活巨噬细胞向CSF-1 梯度趋化并分泌EGF；另一方面EGF 可以与乳腺癌细胞上的受体结合，这样就激活了循环链，激活的乳腺癌细胞通过分泌更多的CSF-1 并向EGF 梯度方向做趋化运动[2 − 4]，这一过程导致了短距离趋化信号回路。

目前对于模型（1）相关模型的研究已经取得了很大的进展，比如，Tao 等[5]研究了模型（1）当τ=0，χ3=0时解的全局存在性，并得到了当两种物质的总质量都很小时模型解的全局有界性与爆破现象。Li 等[6]进一步讨论了τ=1,χ3=0时解的全局存在性，同样得到了相应的模型在初始细胞质量都很小时解的全局有界性和爆破现象。……