摘 要：本文利用上下解法，研究了半正问题：-Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u），

u=0，x∈Ω，

x∈Ω，正解的存在性问题，其中ΩRN（N1）是光滑有界的，m：Ω→R是可变号的函数，n：[0，+SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]，参数λ，k>0，f在无穷远处满足次线性条件且f（0）=0，证明了对于某些范围的λ，只要M的负部适当的小，则该方程存在一个正解。

关键词：上下解法;半正问题;正解;Dirichlet边界

中图分类号：O175.25  文献标识码：A

1 绪论及主要结果

本文研究了半正问题：

-Δu=λm（x）（f（u）-k）+n（u），

u=0， x∈Ω，

x∈Ω，（1.1）

其中ΩRN（N1）是光滑有界的，参数λ，k>0，且m：Ω→R是可变号的函数，n：[0，+SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]，这里我们讨论这种情况：f∈C（[0，+SymboleB@

）），f（0）=0，f0。

半正问题的应用非常广泛，见文献[1—4]及其参考文献，通过阅读参考文献我们发现证明方程（1）正解的存在性是很不容易的，由于强极值原理在这里是不适用的。事实上，即使是通过标准的变分法理论研究方程（1）的非负解也是不清楚的，即使要求m0。

而对于m≡1的情况，我们可以参考文献[1]、[5]。另一方面，在文献[6]中，U.kaufmann和H.Ramos Quoirin利用上下解法研究了方程：

-Δu=λm（x）（f（u）-k），

u=0， x∈Ω，

x∈Ω，（1.2）

得到了几个比较重要的定理。本人在阅读相关参考文献的过程中，发现我们可以将方程（1.2）的形式推广到方程（1.1），这在我们的实际生活背景中有着更加实际的物理背景，尤其是在物理机械系统，控制理论等方面，因此研究这个方程是有意义且必要的。通过对方程（1.1）的研究，我们得到了下面的定理。

记P0为C10（Ω）中正锥的内部，即：

P0：=u∈C1（Ω）|u>0（x∈Ω），u=0且uν<0（x∈Ω）

其中ν是指向Ω的单位外法向量。

记M（x，u（x））：=m（x）+n（u（x）），M+：=max（M，0），M-：=max（-M，0）则有M=M+-M-。

下面给出我们的主要结论：

定理 1.1令M∈LSymboleB@

（Ω），f：[0，SymboleB@

）→[0，SymboleB@

）是连续函数且有f（0）=0，n：[0，SymboleB@

）→（-SymboleB@

，0]。

假设对一些0

f（s）sp=1，那么当‖M-‖LSymboleB@

（Ω）充分小时，存在λ0>0，使得对λλ0，方程（1.1）有一個正解uλ∈P0。此外，limλ→SymboleB@

x∈Ωuλ（x）=SymboleB@

。

更具体来说，定理1.1中M-足够小的条件应该保持在M+上，它必须使得，对一些δ>0，方程：