许文丁， 何诣然

（1.四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066； 2.四川旅游学院 旅游文化产业学院，四川 成都610100）

1 引言及预备知识

定理1.1称为Graves定理.若映射f：X→Y在x¯处严格可微，则由严格可微（不妨设f在x¯处的导数为f′（x¯））的定义可知，对任意ε＞0，存在x¯的邻域U，使得对任意x，x′∈U，有

有

其中记号d（z，A）表示点z到集合A的距离，即

使（1）式成立的所有常数c关于邻域U×V的下确界称为F在x¯处的度量正则模，记为reg F（x¯｜y¯）.F在x¯处度量正则当且仅当reg F（x¯｜y¯）＜∞.

众所周知，对单值映射g：X→Y，常数L≥0，若存在x¯的邻域U，使得对任意x，x′∈U，都有

则称g在x¯处关于常数L局部Lipschitz连续，常数L关于邻域U的下确界称为Lipschitz模，记为Lip（g；x¯）.

由经典的Banach开映像定理可知，连续线性映射A：X→Y是度量正则的当且仅当它是满射.对于非线性映射f：X→Y，文献［1］得到如下结论.

定理1.1 设f：X→Y为映射，A：X→Y为连续线性映射，κ，μ＞0满足κμ＜1.若以下条件成立：

（i）映射A关于常数κ度量正则；

（ii）映射f-A关于常数μ全局Lipschitz连续；

即映射f-f′（x¯）在x¯处是局部Lipschitz连续的，且其Lipschitz常数可以任意小.这样，由定理1.1便容易证得如下推论.

推论1.1 设映射f：X→Y在x¯处严格可微，若其导数为f′（x¯）是满射，则其自身为度量正则的.

事实上，以上推论为充分必要条件，其逆命题的证明可由被称为“推广的Lyusternik-Graves定理”（见文献［2-4］等）所得到.

定理1.2 设κ、μ为2个非负常数满足κμ＜1，F：XY为集值映射，（x¯，y¯）为F的图像上一点，g：X→Y为在x¯处局部Lipschitz连续的单值映射.若F在x¯处度量正则且

同时有

则映射F+g在x¯处度量正则，且

关于强度量正则性，也有以下相应的结论（见文献［3］等）.

定理1.3 设κ、μ为2个非负常数满足κμ＜1，F：X Y为集值映射，（x¯，y¯）为F的图像上一点.g：X→Y为在x¯处局部Lipschizt连续的单值映射.若F在x¯处强度量正则且reg F（x¯｜y¯）≤κ，同时有Lip（g；……