李炼 郭海强 徐骏 李安洪

（中铁二院工程集团有限责任公司，成都 610031）

折线形墙背挡土墙因其能减小主动土压力作用，同时可提高挡土墙的稳定性而得到广泛应用。这类复杂墙背的挡土墙针对上、下墙计算土压力。上墙土压力常用计算方法有第二破裂面法、实际墙背法，下墙土压力常用计算方法有延长墙背法、力多边形法、校正墙背法等近似计算方法［1-3]。

挡土墙土压力计算一直是学术界研究的热点［4-8]。传统公式法计算折线形墙背土压力是在库仑理论基本假定的基础上，针对破裂面交于墙后地面的不同情形，分别推导出相对应的土压力求解公式。仅一般工况，《铁路工程设计技术手册：路基》中就给出了47 组复杂的求解公式［1]。常规设计时常套用通用图集，难以应对复杂变化的实际工程情况［9-10]。折线形墙背受力情况复杂，为了解决传统公式法计算过程繁琐、计算量大、适用坡面及荷载类型单一等问题，本文提出快速求解折线形墙背土压力的扫描搜索法［11]。扫描搜索法是通过扫描假定的破裂面，根据库仑理论求得每组破裂楔体所对应的土压力，并通过搜索获得对支挡结构最不利土压力的计算方法。首先，分别通过上墙和下墙踵点建立坐标系，并将地面线按照一定间距分割；其次，以该点到地面线的连线为假定破裂面，根据推导的库仑土压力计算通式求解每一假定破裂面的土压力大小和作用点位置；最后，经搜索获取最大土压力。

1 折线形墙背

折线形墙背挡土墙包括重力式路肩墙（折线形墙背）、衡重式路肩墙、重力式路堤墙（埋式）3 种结构形式。

事实上，普通的直线形墙背挡土墙和折线形墙背挡土墙均可视为衡重式挡土墙的特例［3]，故本文以衡重式挡土墙为例研究土压力计算的扫描搜索法及其应用，具有普遍的现实意义。

2 扫描搜索法计算上墙土压力

扫描搜索法计算上墙土压力时，须采用二重循环计算：第一重循环用于扫描搜索第二破裂角αi；第二重循环用于扫描搜索第一破裂角βj，经计算得到上墙土压力及其作用点。须要注意的是：若假定第二破裂面为实际墙背，墙背摩擦角δ与综合内摩擦角φ不一致（δ = φ/2 或δ =2φ/3）；若假定第二破裂面为假想墙背时，墙背摩擦角与综合内摩擦角一致（δ=φ）。

2.1 建立坐标系

分段间距Δl是指破裂、楔体分割成若干微段。按给定间距Δl将墙后坡面及路基面进行分段，包括坡面变坡点、荷载边缘、荷载内、荷载外等关键点，以O′点为坐标原点建立坐标系，如图1 所示。计算第二破裂角αi点集为｛A0，A1，A2，…，Am｝，计算第一破裂角βi点集为｛B0，B1，B2，…，Bn｝。

图1 上墙扫描法计算示意

2.2 破裂楔体

利用坐标法计算假定第二破裂面O′Ai与第一破裂面O′Bj所围成的破裂楔体的自重及形心点坐标，如图1所示。

破裂楔体的自重及形心点坐标计算公式为

式中：Wsoil，ij为破裂楔体自重；γ为土的重度；S为破裂楔体的面积，按逆时针顺序计算时S为正，反之为负；Cx和Cy分别为破裂楔体形心的横坐标和纵坐标。

2.3 路基面荷载

图2 重力荷载及其在路基面上的作用点示意

如图2 所示，路基面上每段荷载自重Wj，load及其作用点坐标（Qj，x，Qj，y）计算公式为

式中：Wj，load为第j个荷载的自重；Δqi为第j个荷载内的第i段的荷载集度；Δl为荷载分段间距；Qj，x为第j个荷载横坐标。

横坐标Qj，x按式（5）计算，纵坐标Qj，y与路基面相关，通过内插求取。

2.4 上墙土压力及作用点位置

1）上墙破裂楔体及破裂楔体上荷载产生的总重W1与形心坐标（xc，yc）的计算公式为

式中：m为荷载个数。

2）上墙土压力

一般工况下折线形墙背上墙土压力的力系图如图3所示。

图3 上墙库仑土压力及其作用点计算示意

折线形墙背上墙土压力计算公式推导为［12]

式中：E1x为上墙水平土压力；E1a为上墙土压力；δ1为上墙墙背摩擦角；αi为第二破裂角；βj为第一破裂角；φ为综合内摩擦角；E1y为上墙竖向土压力。

在计算折线形墙背上墙土压力时，还须计算上墙反力R1，根据图3 折线形墙背力系图示求得计算通式，即

3）上墙土压力作用点

土压力在墙背上的作用点即为总重力W1的形心（xc，yc）沿破裂面方向在墙背上的投影点［1，12]，如图3 所示，土压力作用点计算公式为

式中：xβi为上墙总形心点与第一破裂面水平交点横坐标；Z1x为上墙土压力的水平分力到O′点的距离；Z1y为上墙土压力的竖向分力到O′点的距离。

3 扫描搜索法计算下墙土压力

计算下墙土压力时，须要采用三重循环计算：上墙土压力第二破裂角αi处于最外层循环；第一破裂角βj处于第二层循环；下墙破裂角θl处于最内层循环。

3.1 建立坐标系

下墙破裂角计算点集为｛C0，C1，C2，…，Cp｝，Cp为根据库仑理论计算的下墙扫描搜索界限。假定下墙墙踵O点与路基面交于点Cl（xl，yl），连接O和Cl两点，得到下墙破裂角θl。

下墙破裂角计算起始点C0可分为两种情况：当βj≥δ2，C0为上墙第一破裂角βj与路基面的交点；当βj ＜δ2，C0为下墙延长线与路基面的交点，如图4所示。

图4 下墙扫描法计算示意

3.2 破裂楔体

折线形墙背下墙破裂楔体（图5），按照三角形OO′Cl和多边形O′C0Cl分别计算自重WOO′Cl，WO′C0Cl及形心点坐标（Cax，Cay），（Cbx，Cby），计算原理及方法同上墙。

图5 下墙破裂楔体的自重及形心示意

3.3 路基面荷载

如图4 所示，下墙破裂面与上墙第一破裂面所包围的荷载重力Wload及其在路基面上的作用点（Qx，Qy）计算原理及方法同上墙。须注意的是，当非均布荷载跨越上墙第一破裂面时，须在上墙第一破裂面与路基面交点处分段。

3.4 下墙土压力及作用点位置

1）根据步骤3.2 和步骤3.3 求取折线形墙背下墙破裂楔体的重力及破裂面以内的路基面上荷载产生的总重力W2。

2）下墙土压力

图6 下墙土压力计算示意

折线形墙背下墙土压力计算采用力多边形法计算，根据图6 所示的力系可推导出下墙水平及竖向土压力，计算公式为

式中：E2a为下墙土压力；W2为下墙破裂楔体及荷载总重；δ2为下墙墙背摩擦角；α2为下墙墙背倾角；θl为下墙破裂角；E2x为下墙水平土压力；E2y为下墙竖向土压力。

3）土压力作用点

本文采用文献［13]推导土压力力臂的方法求解下墙土压力作用点的位置。由于墙背破裂楔体的形心投影在墙背上的高度就是土压力力臂，因此将墙背破裂楔体划分成几个图形来求墙背破裂楔体的形心投影在墙背上的高度。如图7 所示，可将墙背破裂楔体划分为三角形OO′Cl、多边形O′C0Cl和荷载三部分，并将各自的重力和形心投影在下墙背上，该投影方法与所求得的力臂公式是完全一致的，具体方法为：①三角形OO′Cl的形心沿着下墙破裂面OCl投影到墙背上，形心投影高度为H2/3。②多边形O′C0Cl的形心沿着上墙第一破裂面OC0投影到D上，再沿着下墙破裂面OCl投影到墙背上，若路基面C0Cl为直线，则形心投影高度为2H2/3。③下墙破裂面与上墙第一破裂面间的荷载沿着上墙第一破裂面OC0投影到E上，再沿着下墙破裂面OCl投影到墙背上，若荷载为均布荷载且在C0Cl段平均满铺，则形心投影高度为H2/2。

图7 折线形墙背下墙土压力作用点投影示意

综上，折线形墙背下墙土压力在下墙背上的作用点（Z2x，Z2y）计算公式为

式中：Z2x为下墙土压力的水平分力到O点的距离；Z2y为下墙土压力的竖向分力到O点的距离；WO′C0Cl为多边形O′C0Cl自重；WOO′Cl为三角形OO′Cl自重；Wload为下墙破裂面与上墙第一破裂面所包围的荷载重力；W2为下墙破裂楔体及荷载总重；H2为下墙墙高。

4 土压力最大值

重复步骤2.2—步骤2.4，依次计算所有第二破裂面与第一破裂面组合所产生的库仑土压力并搜索选出最大值，即为上墙土压力；重复步骤3.2—步骤3.4，依次计算所有下墙破裂面所产生的土压力，搜索最大值即为下墙土压力。

有上下墙的情况下，搜索最大土压力时，不要上墙和下墙分开搜索，应搜索上墙和下墙合力的最大土压力。

5 程序与算例

5.1 程序算法

采用扫描搜索法计算库仑主动土压力时，须借助计算机编程实现，根据本文所介绍的计算原理编制相应计算程序，程序流程如图8所示。

图8 扫描搜索法计算库仑主动土压力程序流程

5.2 算例对比

已知：φ=35°，δ=17.5°，γ=19 kN/m3，α=35°，上墙墙高H1=4 m，全墙墙高H=10 m，荷载在路基横断面上的分布宽度L0=3.4 m，荷载的换算土柱高度h0=2.7 m，路基面宽度13.6 m，线间距5 m，墙顶宽0.5 m，衡重台宽1.31 m，墙胸坡为1∶0.05，上墙背坡为1∶0.45，下墙背坡为1∶0.25，如图9所示。

图9 算例示意（单位：m）

一般工况下折线形墙墙背土压力计算结果见表1。可知，一般工况下本文介绍的扫描搜索法与传统库仑公式法计算结果基本一致。

表1 一般工况下折线形墙背土压力计算结果对比

6 结语

1）给出了折线形墙背上下墙库仑主动土压力计算通式。

2）编制了扫描搜索法计算折线形墙背主动土压力程序，可定义直线、折线、弧形填土面及不同的荷载形式，可定义分段间距。

3）扫描搜索法原理简洁易懂，计算通式简便，可适用于各种复杂坡面、荷载及工况的条件，有效地解决了折线形墙背土压力计算困难，公式繁复，且实际工程复杂多变的问题。与传统库仑公式法计算结果基本一致，精确度高。