李丹丹，李远飞

(广州华商学院应用数学系，广东 广州 511300)

本文主要研究如下非线性单调方程组问题：

q(x)=0，x∈n

，

(1)

其中q：n→n是连续可微函数且单调的，即对于任意的x，y∈n有

(q(x)-q(y))T(x-y)≥0

.

(2)

在计算机视觉、压缩感知等工程与科学领域存在大量的优化问题，这些优化问题大部分可以转化为非线性单调方程组问题[1-3].求解非线性单调方程组问题是最优化领域的一个研究热点，其数值方法主要有牛顿法、拟牛顿法、信赖域法和共轭梯度法等[4-7]，问题的维数越高求解难度系数越大.共轭梯度法因算法简单、存储需求量小等优势，成为求解非线性大规模优化问题的主要方法之一.非线性共轭梯度法的一般性迭代公式为

xk+1=xk+αkdk，

其中：αk为由某种线搜索所决定的步长；dk为搜索方向，定义如下：

式中qk表示q(xk)，βk为共轭参数.经典的共轭梯度算法主要有PRP方法和HS方法、LS方法和FR方法等.

近年来，为了构建具有良好的收敛性质和数值效果更优的共轭梯度法，文献[8]通过增加扰动项的方法，构造出满足充分下降性的三项共轭梯度法：

(3)

基于以上的讨论，在经典LS共轭梯度法搜索方向的基础上，本文借鉴文献[9]和式(3)的构造方式设计了一个新型的搜索方向，再结合文献[10]的超平面投影技术和文献[11]的线搜索方法，提出了一种求解大规模非线性单调方程组的无导数型三项共轭梯度算法.新算法具有以下良好性质：

(ⅰ)搜索方向在无需任何线搜索条件下自动满足充分下降性质；

(ⅱ)在适当的假设下，新算法具有全局收敛性；……