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基于带三参数的类四次贝塞尔曲线的起重机转弯非圆轨道优化

2021-04-30梁岗吴章杰於伟坤

上海海事大学学报 2021年1期
关键词:大车起重机偏差

梁岗 吴章杰 於伟坤

摘要:

为解决有轨起重机在转弯时出现的啃轨、卡轨问题,提出基于贝塞尔曲线的起重机非圆轨道设计方案。方案选用带三参数的类四次贝塞尔曲线作为转弯内轨曲线,针对起重机单轮和多轮情况,通过起重机大车行走机构的几何关系计算出外侧前、后点的轨迹。以大车外侧前、后点偏差量最小为优化目标,利用多始点启发式全局优化算法搜寻最优的曲线参数,并通过Hermite插值法拟合出外轨曲线。计算结果表明,与传统圆弧转弯轨道相比,以四次贝塞尔曲线作为转弯轨道曲线时起重机在转弯时外侧前、后点最大偏差量明显减小。以带三参数的类四次贝塞尔曲线作为内轨曲线时,可通过改变三参数数值来调整曲线,从而进一步降低偏差量。

关键词:

有轨起重机; 贝塞尔曲线; 偏差量; 全局优化算法

中图分类号:  U653.921

文献标志码:  A

收稿日期: 2019-11-21

修回日期: 2020-04-18

作者简介:

梁岗(1969—),男,河南开封人,副教授,博士,研究方向为起重机动力学、起重机智能结构振动控制、大型起重机结构轻量化设计与优化、起重机电气控制仿真和虚拟样机仿真,(E-mail)gangliang@shmtu.edu.cn

Optimization of non-circular rail for crane turning based on

quasi quartic Bezier curve with three parameters

LIANG Gang1, WU Zhangjie1, YU Weikun2

(1. Logistics Engineering College, Shanghai Maritime University, Shanghai 201306, China;

2. Shanghai Zhenhua Heavy Industry Co., Ltd., Shanghai 200125, China)

Abstract:

In order to solve the problems that the rail crane gnaws on the rail and is jammed in the rail during turning, a non-circular rail design scheme of the crane based on Bezier curve is proposed. In the scheme, the quasi quartic Bezier curve with three parameters is chosen as the turning curve of the inner rail. According to the single wheel and multi-wheel situation of the crane, the tracks of the front and rear points on the outer side are calculated through the geometric relationship of the traveling mechanism of the crane cart. Taking the minimum deviation of the front and rear points on the outside of the cart as the optimization objective, the optimal parameters of the curve are searched by the multi-start point heuristic global optimization algorithm, and the outer rail curve is fitted by Hermite interpolation. The calculation results show that, the maximum deviation of the front and rear points on the outside of the cart decreases significantly when the quartic Bezier curve is used as the turning rail curve compared with the traditional circular turning rail. When the quasi quartic Bezier curve with three parameters is used as the inner rail curve, the deviation can be further reduced by adjusting the three parameters.

Key words:

rail crane; Bezier curve; deviation; global optimization algorithm

0 引 言

為实现一台岸边集装箱起重机(简称岸桥)对多个非线性分布泊位的移动作业,需要岸桥能够转弯运行。然而,有轨运行式起重机大车前后轮在转弯过程中的轨迹存在偏移量。小的偏移量能够被轮缘与轨道之间的间隙抵消,但偏移量过大会造成大车轮缘啃轨、卡轨等危险情况,因此偏移量的大小是起重机能否顺利过弯的关键影响因素。

传统的起重机大车转弯轨道的设计研究都是基于同心圆轨道的,采用调整整机框架尺寸和车轮踏面宽度等参数或增加偏心轴承等方法[1-5]帮助大车顺利过弯,这使得轨道转弯半径过大且需要额外增加相关的运动控制机构,增加了设计难度和制造成本。虽然直轨道和同心圆轨道在接点处的函数及其一阶导数均连续,但其二阶导数的不连续使得接点处的偏移量陡增,因此转弯轨道曲线必须具有二阶导数连续性(也即曲线曲率半径连续)以满足起重机平缓过渡的要求。直线的曲率半径为无穷大,而圆弧的曲率半径为一定值,在两者之间引入一条过渡曲线[6-8]可以满足曲率半径的连续变化。

近年来起重机制造业出现一种新型的起重机转弯方案,称之为修正轨道方案。修正轨道的弯道不是简单的圆弧。CHEN等[9]利用回旋曲线作为过渡曲线设计了完整的非圆转弯轨道,并研究了回旋曲线非圆轨道的多轮修正原理。

贝塞尔曲线可以与直线段光滑过渡,且通过调整控制点参数可以改变其连续性。黄玉钏[10]和陈成等[11]因贝塞尔曲线具有良好的几何连续性和可控性将其运用于轨迹规划研究中。此外,通过引入各种带参数的Bernstein基函数能够使贝塞尔曲线在不改变控制点位置的情况下进行局部调整。韩旭里等[12]在基函数中引入形状参数对二次贝塞尔曲线进行扩展,通过改变参数大小调整曲线接近控制多边形的程度;在三次贝塞尔曲线基函数扩展中,杭后俊等[13]引入双参数使得曲线具有更灵活的形状可调性;文献[14-17]对四次贝塞尔曲线的扩展也进行了相应的研究,分别引入单、双、三参数使得构造的新曲线具有与四次贝塞尔曲线类似的特性,并且给调整曲线的形状提供了更丰富的手段。

根据起重机大车非圆转弯轨道的特点,本文将带三参数的类四次贝塞尔曲线轨迹规划方法引入起重机大车转弯轨道设计中。以大车外侧前、后点偏差量(前、后点轨迹在局部坐标系纵轴的最大差值)为目标函数,采用全局优化算法[18-19]对多个参数进行优化形成贝塞尔曲线内轨。由内侧车轮坐标参数方程和起重机大车相关参数通过刚体运动关联性直接推导出外侧前、后点轨迹参数方程,再依据最小二乘法等确定修正后的外轨曲线的各坐标点。为保证计算所得曲线的光滑性,需对计算所得离散点进行光滑处理,利用Hermite插值法形成最优外轨曲线轨道。对起重机大车单轮和多轮情况的非圆轨道进行优化计算和比较分析,为起重机大车转弯非圆轨道的设计研究提供借鉴。

1 轨道优化原则

现有的起重机大车一般采用四点支座式结构,车轮多采用双轮缘圆柱形车轮。图1为八轮大车行走机构简化模型,其中:B为起重机基距;S为轨距。图2为八轮大车行走机构的平衡梁跨度示意图,其中:K0为轮距;K1、K2、K3分别为一级、二级、三级平衡梁跨度。

不同的起重机大车每个支点上的平衡梁级数和车轮数可能不同,基本模型与图1相似。几种不同的起重机大车行走机构模型见图3。

本次起重机大车轨道的优化方案采用先定内轨后定外轨的方式:以大车外侧前、后点偏差量最小为优化目标来确定内轨,再由所定的内轨确定外轨。理想的外轨曲线应满足大车外侧前、后点偏差量最小的条件,由于偏差量存在正负,所以取大车外侧前、后点轨迹的中心线为理想轨道曲线以达到偏差量最小化的要求。需要说明的是,对于单轮情况,外侧前、后点轨迹指的是起重机大车外侧前、后轮轮心的轨迹;而对于多轮情况,外侧前、后点轨迹指的是起重机大车外侧下平衡梁前后旋转轴(如图1中的c和d)的轨迹。

1.1 带三参数的类四次贝塞尔曲线

定义1 对t∈[0,1],称关于t的多项式

b0,4(t)=(1-λt)(1-t)4

b1,4(t)=(4+λ-λt)(1-t)3t

b2,4(t)=(6-τt)(1-t)2t2

b3,4(t)=(4+μt+τ(1-t))(1-t)t3

b4,4(t)=(1-μ+μt)t4

(1)

为带参数λ、μ、τ的基函数,λ∈[-4,1],μ∈[-4,1],τ∈[-4,6]。不难看出,当λ=μ=τ=0时,式(1)退化为四次Bernstein基函数;当λ=μ且τ=0时,式(1)退化为带单参数的基函数;当τ=0时,式(1)退化为带双参数的基函数。

基函数式(1)具有如下性质:

(1) 非负性:bj,4≥0, j=0,1,2,3,4。

(2) 规范性:4j=0bj,4(t)≡1。

(3) 端点性质:

称式(2)为带三参数λ、μ、τ的类四次贝塞尔曲线。

由5个控制点P0(-6,0)、P1(-4,4)、P2(0,6)、P3(4,2)、P4(6,4)所决定的类四次贝塞尔曲线受参数λ、μ、τ的影响见图4。图4中:由下往上的虚点线是固定μ=τ=0,λ依次取-4、-3、-2、-1、0、1时的图形;由下至上的虚线是固定λ=τ=0,μ依次取1、0、-1、-2、-3、-4时的图形;从下往上的实线为固定λ=μ=0,τ依次取6、4、2、0、-2、-4时的图形。从图4可看出,3个参数对于曲线不同部位的形状有着不同程度的调节,为曲线形状的局部调整提供了额外的方法。

1.2 内轨成型方法

如图5所示,类四次贝塞尔曲线共有5个控制点、3个参数,为保证曲线轨道与直轨道的相切性,始末定控制点P0、P4设置在两条直轨道与曲线轨道的接合处。两条直轨道相交于点A(z,0),且直轨道Ⅱ与横轴夹角为。可变控制点P1、P3设置在两条直轨道的延长线上,P2则设置在两条直轨道与直线P0P4所包围的三角形区域(阴影部分)内。通过调整控制点P1、P3在线段AP0、AP4上的位置和P2在三角形区域内的位置可获得内轨曲线集,在此基础上调整参数λ、μ、τ的数值继续对曲线的形状进行局部修正。最后根据理论计算出每条曲线对应的大车外侧前、后点偏差量,从中选择偏差量最小的曲线作为起重机转弯内轨。

将P0(0,0)、P1(u1,v1)、P2(u2,v2)、P3(u3,v3)、P4(u,v)的纵、横坐标值代入式(2),得

2 大车外侧前、后点偏差量計算

大车外侧前、后点偏差量计算分为单轮(含两轮)和多轮情况,其中多轮又可分为四轮、六轮、八轮等,考虑到多轮大车外侧前、后点偏差量计算方法相似,本文以四轮情况为例进行计算说明。

2.1 单轮情况

如图6所示为起重机单轮大车转弯示意图。以起重机大车内侧的车轮中心(即支座中心)定位,计算另一侧车轮中心的轨迹坐标。

因为各旋转轴中心是否进入弯道对应的约束方程不同,所以需要分段计算处理。

(1)车轮未完全进入弯道:此时起重机大车内侧后轮a在直轨道Ⅰ上行走,故a的坐标(xa,ya)中xa∈[-B,0],ya=0。内侧前轮b已进入弯道,其坐标(xb,yb)满足式(3)。

(2)车轮完全进入弯道:此时起重机内侧两轮a、b均在弯道上行走,因此坐标值均满足式(3)。

(3)车轮未完全出弯道:此时起重机内侧后轮a仍在弯道上行走,其坐标值仍应满足式(3)。前轮b已进入直轨道Ⅱ,因此b的坐标值满足

根据大车行走机构简化模型可以找到支座中心a与b、c、d的几何位置坐标关系,并建立关系式:

起重机内侧轮a和b在弯道上行走时可分别用

ta和tb表示各自的贝塞尔曲线方程参数。由后轮a定位,通过联立式(5)可求出支座中心b不同时刻的位置坐标,再由方程组(6)和(7)得支座中心c和d的位置坐标。

求解出外侧前支点c的轨迹后,建立图7所示局部坐标系。

图7中,a点为局部坐标系原点,局部坐标系x′轴与广义坐标系x轴的夹角为β,逆时针方向为正。支座中心c在广义坐标系中的坐标(xc,yc)与在局部坐标系中的坐标(x′c,y′c)之间的转化关系为

由式(8)可求出支座中心c在局部坐标系中的相对坐标,利用Hermite插值法求出c轨迹与局部坐标系y′轴交点的纵坐标,减去轨距S后取绝对值的一半得到在局部坐标系原点处大车外侧前、后点的偏差量矩阵D。随着起重机大车的行走,偏差量矩阵D存在最大偏差值M(影响通过性),而控制点P1、P2、P3的移动以及3个参数λ、μ、τ的变化所生成的曲线集会产生不同的M。最终选取M最小时的曲线作为优化内轨。

2.2 多轮情况

常见的多轮起重机大车包括但不局限于四轮、六轮和八轮,在起重机大车转弯过程中,各一级平衡梁上的车轮都只能共线,因此在建立数学模型时只计算共线车轮的中心位置坐标,也即共线车轮旋转中心的位置坐标。

两轮转弯时,每个支座只有两轮,只需计算各支座中心的位置坐标,因此两轮转弯的数学模型与单轮转弯的相同。

四轮转弯时,根据一级平衡梁是否绕立轴旋转可分为两种情况:

(1)四轮共线:由于四轮只能绕二级平衡梁立轴中心转动,而不能相对转动,所以其数学建模的处理方式与两轮转弯的相同。

(2)两轮共线:与两轮转弯类似,只需计算共线车轮的中心位置坐标也即二级平衡梁两旋转轴中心的位置坐标,并且同一轨道上的二级平衡梁转轴中心均在轨道的中心线上。

由于各旋转轴中心是否进入弯道对应于不同的约束方程,所以同样需要分段计算处理。分段过程与单轮大车转弯类似,共分7种情况:(1)b2已进入弯道至b1刚进弯道;(2)b1已进入弯道至a2刚进弯道;(3)a2已进入弯道至a1刚进弯道;(4)a1完全进入弯道至b2刚出弯道;(5)b2已出弯道至b1刚出弯道;(6)b1已出弯道至a2刚出弯道;(7)a2已出弯道至a1刚好完全出弯道。

此处选取第3种情况(见图8)加以详细表述,其余情况处理方法类似,不再赘述。

当旋转轴中心a2、b1、b2均处于弯道上时,其横、纵坐标xa2、ya2、xb1、yb1、xb2、yb2的约束条件均满足式(3),此时3个未知数ta2、tb1、tb2分别对应旋转轴中心a2、b1、b2的贝塞尔曲线参数方程的参数。

再根据起重机四轮大车机构的几何关系建立内侧各旋转中心的坐标方程组:

式中:β、γ、θ分别为内侧下平衡梁ab、二级平衡梁b1b2、二级平衡梁a1a2与x轴正方向的夹角,逆时针方向为正。

以旋转轴中心a1定位,将式(9)与a2、b1、b2的横、纵坐标约束方程联立,其中包含β、γ、θ、ta2、tb1、tb2等6个未知参数,与联立方程组所包含的独立方程个数相同,故由此可求出内侧支座中心轨迹坐标。外侧下平衡梁前后支座中心c、d轨迹坐标以及大车外侧前、后点偏差量的计算与单轮一致。

六轮和八轮大车行走机构转弯的理论方法和情况讨论与单轮和四轮类似,此处不再赘述。具体的计算流程见图9。

3 基于全局优化算法的内轨优化计算

港口起重机大车非圆轨道通常根据港口岸边的自然条件作对称化设计,其在图5中的具体表现为:两个直轨道所在的直线相交于固定点A,以A点为圆心根据安装场地的实际面积、综合考虑非圆内轨的占地情况选取合理的转弯半径作圆,与直

轨道Ⅰ和直轨道Ⅱ所在的直线分别相交于控制点P0、P4,因此阴影区域的ΔP0AP4是等腰三角形。至此,控制点P1、P2、P3位置的变化和参数λ、μ、τ决定内轨的成型,从而影响优化目标M的取值大小。

总体而言,起重机在非圆内轨上转弯的优化问题可表示为

从图5可以看出,控制點P1、P3在线段AP0、AP4上随机移动,鉴于内轨的对称性设计可判定P2点的最佳运动轨迹在A点与P0P4中点的连线上。因此,可建立以下关系:

内轨全局优化问题可进一步简化为

综上所述,内轨优化问题的目标函数是不连续、不可微、高度非线性的,不仅变量和约束条件多,而且没有明确的解析表达式,因此经典的局部优化方法并不适用。尽管局部优化算法远比全局优化算法成熟、通用且易于实现,但搜索过程完全依赖邻域函数和初始点的选取,因此结果通常为局部极小值,从而无法实现全局最优。

目前国内外发展的全局优化算法一般分为确定型和随机型。本文采用结合MATLAB工具箱的GlobalSearch全局优化算法,其基本原理是:首先全局搜索求解器生成基于分散搜索的若干起始试验点,利用这些初始点调用局部求解器fmincon,通过SQP(序列二次规劃算法)不断地判别、迭代,寻找出各自所在盆地的极值点,并删除成功希望渺茫的起点。接着利用评价函数对比各盆地的极值点,最后搜索得到全局最优值。多次试验证明,利用GlobalSearch全局优化算法不仅能得到更加精确稳定可靠的M值,而且在程序运算时间上较其他全局优化算法缩减很多。

4 实例计算分析

目前起重机大车的基本参数尚无国际标准,各国、各地区甚至各码头在实际工程中会依据不同的要求自行设计确定,但世界各国、各地区已经形成一些岸桥基本参数系列(如轨距、基距等)。结合工程实际,根据当前的岸桥参数范围,选出如下岸桥和轨道数据:轨道夹角的范围70°~90°;轨距S的范围20~35 m;基距B的范围10~15 m;轮距K0=1 m;圆弧内轨半径R的范围120~150 m。

4.1 单、多轮情况轨道优化的对比分析

根据前文建立的起重机大车转弯模型,选取轨道夹角=90°、轨距S=30 m、基距B=15 m、轮距K0=1 m、圆弧内轨半径R=120 m,并通过全局优化算法的搜寻计算,得到表1。

通过表1的数据不难看出,不论起重机大车的类型如何,最终优化返回的参数和偏差量十分接近。此外,尽管P1、P3点在AP0、AP4上随机移动,但是两点的最优位置基本关于中位线对称,这也印证了P2点的最佳运动轨迹在A点与P0P4中点的连线上。从图10可以发现,单轮与多轮情况生成的内、外轨曲线和外侧前、后点偏差量基本一致。为便于对比圆弧轨道、四次贝塞尔曲线轨道和带三参数的类四次贝塞尔曲线轨道,以下选取单轮起重机大车为主要研究对象。

4.2 圆弧轨道和非圆曲线轨道的对比分析

在相同的大车转弯系统参数下,圆弧轨道、四次贝塞尔曲线轨道和类四次贝塞尔曲线轨道的内、外轨曲线和大车外侧前、后点偏差量对比见图11。

当起重机大车在圆弧轨道上运行时,在刚进弯道时外侧前、后点最大的偏差量为22.49 mm,完全进入弯道后的偏差量为零(前后轨迹重合,不出现偏移问题),在出弯道时再次产生较大的偏差量。

以贝塞尔曲线作内轨时偏差量均不会超过4.70 mm,大车外侧前、后点最大偏差量M相较于圆弧曲线对应的最大偏差量都小很多。起重机大车在非圆轨道上运行时外侧前、后点偏差量较小且平顺,尤其避免了大车进弯道、出弯道时偏差量陡增的情况,进而极大降低车轮刚入弯道和出弯道时发生啃轨、卡轨现象的概率,突出贝塞尔曲线作为转弯内轨曲线时的优势。

进一步观察图11可以发现,分别以四次贝塞尔曲线和带三参数的类四次贝塞尔曲线作内轨曲线时的内、外轨迹几乎相同,仅在局部位置有少许调整,但是大车外侧前、后点偏差量有着明显的区别。类四次贝塞尔曲线作内轨曲线时的最大偏差量为4.36 mm,不仅比四次贝塞尔曲线作内轨曲线时的最大偏差4.68 mm小,而且偏差量整体的变化趋势更加平稳。选用该内轨既可保证大车外侧前、后轮的循迹性,又能在避免和消除啃轨、卡轨隐患上取得更好的效果。

5 结 论

(1)在起重机大车沿着轨道转弯的过程中,外(内)侧前、后点的偏差量是影响通过性的重要因素。本文首先引入四次贝塞尔曲线设计不同类型起重机大车的非圆内轨,利用全局优化算法搜寻最佳的控制点位置参数。与传统的圆弧内轨对比表明,在起重机大车进弯道和出弯道过程中以圆弧为内轨曲线产生数倍于以四次贝塞尔曲线作内轨曲线时的偏差量,因此基于贝塞尔曲线的轨道优化方案能够降低起重机大车转弯时车轮发生啃轨、卡轨的概率。

(2)除控制点的位置影响四次贝塞尔曲线的形状外,对Bernstein基函数引入3个形状参数也能对曲线形状进行调整,通过改变3个参数值可以对内侧的轨道进行微调。结果显示,以带三参数的类四次贝塞尔曲线作为内轨曲线时不仅在四次贝塞尔曲线基础上进一步降低了最大偏差量,而且使得大车外侧前、后点偏差量趋于稳定,保证了起重机大车在行走过程中外侧前、后轮的循迹性。

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(编辑 贾裙平)

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